F(x) HDU - 4734 （数位dp）-优快云博客

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本文探讨了一种特定函数F(x)的定义及其应用。针对给定的两个数值A和B，文章提出了一种有效算法来计算在0到B范围内，有多少个数的F(x)值不超过F(A)。通过动态规划技术优化计算过程，实现了高效求解。

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F(x)

For a decimal number x with n digits (A _nA _n-1A _n-2 ... A ₂A ₁), we define its weight as F(x) = A _n * 2 ^n-1 + A _n-1 * 2 ^n-2 + ... + A ₂ * 2 + A ₁ * 1. Now you are given two numbers A and B, please calculate how many numbers are there between 0 and B, inclusive, whose weight is no more than F(A).

Input

The first line has a number T (T <= 10000) , indicating the number of test cases.
For each test case, there are two numbers A and B (0 <= A,B < 10 ⁹)

Output

For every case,you should output "Case #t: " at first, without quotes. The t is the case number starting from 1. Then output the answer.

Sample Input

Sample Output

Case #1: 1
Case #2: 2
Case #3: 13

题目给了个f(x)的定义：F(x) = A_n * 2^n-1 + A_n-1 * 2^n-2 + ... + A₂ * 2 + A₁ * 1，Ai是十进制数位，然后给出a,b求区间[0,b]内满足f(i)<=f(a)的i的个数。

常规想：这个f(x)计算就和数位计算是一样的，就是加了权值，所以dp[pos][sum]，这状态是基本的。a是题目给定的，f(a)是变化的不过f(a)最大好像是4600的样子。如果要memset优化就要加一维存f(a)的不同取值，那就是dp[10][4600][4600]，这显然不合法。

这个时候就要用减法了，dp[pos][sum]，sum不是存当前枚举的数的前缀和(加权的)，而是枚举到当前pos位，后面还需要凑sum的权值和的个数，

也就是说初始的是时候sum是f(a),枚举一位就减去这一位在计算f(i)的权值，那么最后枚举完所有位 sum>=0时就是满足的，后面的位数凑足sum位就可以了。

仔细想想这个状态是与f(a)无关的(新手似乎很难理解)，一个状态只有在sum>=0时才满足，如果我们按常规的思想求f(i)的话，那么最后sum>=f(a)才是满足的条件。

code：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e4+5;
int dp[12][N];
int f(int x){
    if(x == 0)return 0;
    int ans = f(x/10);
    return ans*2+(x%10);
}
int all;
int a[12];
int dfs(int pos,int sum,int limit){
    if(pos == -1) return sum<=all;
    if(sum > all) return 0;
    if(!limit && dp[pos][all-sum]!=-1) return dp[pos][all-sum];
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    int ans = 0;
    int i;
    for(i = 0; i <= up; i++){
        ans += dfs(pos-1,sum+i*(1<<pos),limit&&i==a[pos]);
    }
    if(!limit) dp[pos][all-sum] = ans;
    return ans;
}
int solve(int x){
    int pos = 0;
    while(x){
        a[pos++] = x%10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(pos-1,0,true);
}
int main(){
    int a,b;
    int t;
    int cas = 0;
    scanf("%d",&t);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(t--){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        all = f(a);
        printf("Case #%d: %d\n",++cas,solve(b));
    }
    return 0;
}