As-Rigid-As-Possible Shape Manipulation论文笔记

这篇博客我会结合自己做的presentation对一篇siggraph上一篇古老但十分重要的论文As-Rigid-As-Possible Shape Manipulation做个介绍。有好几篇后来的siggraph上的文献，在视屏防抖《Content-Preserving Warps for 3D Video Stabilization》为三维视频稳定提供内容保护的空间扭曲《Bundled Camera Paths for Video Stabilization》为视频稳定捆绑了相机路径，还是在图像全景《Rectangling Panoramic Images via Warping》通过扭曲的矩形全景图像等都用到这个算法，

首先说一下大致介绍一下摘要说的重要的内容：

提出一个互动的系统,让用户移动和变形的二维图形，不需要事先手动建立骨架或自由变形(FFD)。图形是建立在一个三角形网上，用户移动几个约束顶点变化。然后系统通过最小化每个三角形的变形误差计算剩余自由顶点的位置。

在基于物理的模拟或迭代改进还可以用于这个目的,他们往往是缓慢的。我们提出一个两步封闭算法,实现实时交互。第一步找到一个适当的旋转和移动，第二步调整规模。

主要方式是使用二次误差度量以便每个最小化问题成为一个线性方程组。解联立方程后开始互动,我们可以很快找到自由的顶点的位置在交互式操作。

方法成功地传达了一种刚性的形状,在空间变形方法是困难的。多点输入设备,即使是初学者可以很容易地移动,旋转和变形形状。

所以，这篇文章的大致思路就是：

设计一个二次误差度量的自由变量的系统可以解决最小化问题作为一个简单的矩阵计算。理想情况下,希望一个适当的二次误差函数代表整体变形。在检查了各种可能性后,最后得出的结论是,它是不可能设计这样一个功能。我们的解决方案是将问题分割成一个旋转部分和规模部分,每个部分由一个独立的二次误差函数。这种分解,我们可以获得最终结果按顺序解决两个最小二乘问题。给定约束顶点的坐标,第一步生成一个中间结果通过最小化错误指标,防止剪切和不均匀拉伸但允许旋转和统一的扩展。第二步需要这个结果和调整每个三角形的规模。第二步是进一步分解为两个连续的过程。系统首先符合每个原始三角形对应的中间三角形不改变规模,然后计算最终结果通过最小化错误度量表示安装三角形之间的差异以及由此产生的三角形。

相关工作：

先介绍一个相关理论的大概念。形状操纵技术大致可分为两类。一个是变形的空间目标形状是嵌入;另一种是变形的形状,同时考虑到其结构。

 

使用骨架变形、FFD和其他空间变形方法属于第一类。骨骼,每一个点的形状是关联到一个坐标系定义的骨头(Lewis et al . 2000]。在FFD,每个点与一个封闭地区FFD网格[MacCracken和喜悦1996]。其他空间变形技术变形全球空间(迪莉娅·米莉蓉et al . 2002年)。贝尔和尼利使用空间变形变形[1992]。捻线机变形全球空间据两位6自由度控制[骆驼et al . 2003],巴雷特和切尼[2002]用于数字图像编辑空间扭曲变形。Brookstein[1989]利用薄板样条函数找到空间变形所定义的一些控制点。这些方法的一个缺点是它们的刚度模型周围的空间,而不是形状本身,因此所产生的变形大大不同于真正的对象的行为。

 

第二类包括物理方法为基础,其中最受欢迎的是弹簧质点模型[吉布森和Mirtich 1997]。这些都是非常容易实现的,但是他们的行为太有弹性了,许多应用程序和收敛缓慢。此外,注意优化各种参数需要让他们真正的工作。身体与有限元方法准确模拟是可能的(Celniker和Gossard 1991),但这些都是非常复杂和昂贵的解决,使他们不适合互动操作简单的图纸。ArtDefo系统(1999年詹姆斯和Pai)实现身体准确、互动形状变形使用边界元方法,但它仅限于很小的变形,如戳表面,并不适用于大变形弯曲手臂。

 

这里介绍的工作属于第二类。我们的目标是介绍内部模型刚度成型操作。然而,而不是使用基于物理的模型,我们使用简单的几何方法类似于一种技术用于(Alexa et al . 2000年)。他们获得一个as-rigid-as-possible形状之间的插值通过计算每个三角形元素的一个刚性变换几何和缝合在一起。同样,我们实现操纵as-rigid-as-possible几何最小化畸变与网格中的每个三角形有关。Sheffer和Kraevoy[2004]介绍类似的变形工具,但使用迭代计算,太贵的交互式操作,特别是当控制顶点迅速行动。

 

我们使用的算法可以看作是拉普拉斯算子的一种变体surface-editing Sorkine等提出的方法。[2004]。他们实现了快速detail-preserving变形通过使用旋转和尺度不变的拉普拉斯算子的坐标。他们还提出了扩展变形形状的拉普拉斯算子回到原来的规模,可以集中精力处理。同样的,我们添加一个scale-preserving初始变形过程的影响。我们表明,这种scale-preservation效应有可能更动态操作比在他们的论文中看到的例子,修复,用户大部分的形状和动作感兴趣的特定区域。

算法：

（1）理论讲解

相对坐标的概念：开始这个算法之前，我需要先给讲解一个三角形中相对坐标的概念：给定一个三角形v0v1v2，如下图所示：

                                                       

那么我们定义，v2相对于v0、v1的坐标为(x01,y01)，满足：

                              

也就是说，我们可以通过已知的一个三角形，然后建立一个以三角形的一个顶点为原点，以其邻接边、及其对应的垂直旋转90度后的方向分别作为x轴、y轴，求取三角形另外一个顶点的相对于这个坐标系的坐标。OK，如果我给你一个三角形，我要你计算出(x01,y01)，你要怎么计算？

（x01