【模板】最大公约数

原理：
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。 
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)；

证明一：

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b ， d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

证明二:

第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

第二步：可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd,n=yd,(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)，得证

知识点：a=mc，b=nc,如果m，n互质，则gcd（a,b）=c。

注意:两种方法是有区别的。

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
	//return b==0?a:gcd(b,a%b); 
}
int gcd2(int a,int b)
{
	while(b!=0)
	{
		int t=a%b;
		a=b;
		b=t;
	}
	return a;
}
int main(void)
{
	int m,n;
	while(cin>>m>>n)
	{
		cout<<gcd2(m,n)<<endl;
	}
	return 0;
}