算法：最大公约数

更新

调用GCD函数无需保证a > b，因为当a < b时，GCD(a, b)返回GCD(b, a % b)即GCD(b, a)。

扩展

输出分数p/q时，考虑0、负数和整数的特殊情况。

模板

#include "GCD.h"

/**
  * @brief: output the fraction p/q
  * @param p: numerator of fraction
  * @param q: denominator of fraction
  */
void FRAC(int p, int q) {
  if (p == 0) {  // p/q = 0
    printf("0");
    return;
  }
  int tag = 1;
  if (p < 0) {
    p = -p; 
    tag *= -1;
  }
  if (q < 0) {
    q = -q; 
    tag *= -1;
  }
  int tmp = GCD(p, q);
  p /= tmp, q /= tmp;
  if (tag == -1) printf("-");  // p/q < 0
  if (q == 1) printf("%d", p);  // integer
  else printf("%d/%d", p, q);  // fraction
}

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很快ACM校集训队要选拔了，想学一波算法，顺便记下模板。

最大公约数

功能

输入两个数a和b，输出a和b的最大公约数。

最大公约数：

1. 既可以整除a，也可以整除b的数，组成集合C
2. 集合C中的最大元素，即最大公约数

思路

辗转相除法：

1. 用a和b中较大值max除以较小值min
2. 若整除，则结果为min
3. 若不整除，则令a和b分别等于min和余数mod，递归步骤1
   可以证明，a和b的最大公约数等于min和mod的最大公约数。

时间复杂度

O(log n)，考虑斐波那契数列，对数列相邻两项使用最大公约数算法为最坏情况，而斐波那契数列通项为指数数量级。

扩展

最大公约数与最小公倍数的乘积等于a * b。

最小公倍数：

1. 既可以被a整除，也可以被b整除的数，组成集合D
2. 集合D中的最小元素，即最小公倍数

模板

/**
  * @param a: number A
  * @param b: number B
  * @return: the greatest common divisor of A and B
  */
int GCD(int a, int b) {
  return b == 0 ? a : GCD(b, a % b);
}

测试

#include "GCD.h"
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

const int MAX = 100;
const int SIZE = 10;

int main() {
  int a, b, ans;
  
  srand(time(NULL));
  for (int i = 0; i < SIZE; ++i) {
    a = rand() % MAX + 1;
    b = rand() % MAX + 1;
    ans = GCD(a, b);
    printf("a = %3d, b = %3d, ans = %3d\n", a, b, ans);
  }

  return 0;
}