m 升的水倒入 n 个相同的容器(容器无限大)

问题描述

要把 m 升的水倒入 n 个相同的容器中（假设容器足够大），允许有的容器是空的，问共有多少种不同的倒法？（用k表示）5，1，1和1，5，1和 1,1,5 是同一种倒法。 Input: 第一行是测试数据的数目 x（0 <= x <= 20）。以下每行均包含二个整数m和n，以空格分开。1<=m，n<=10。 Output: 对输入的每行数据m和n，用一行输出相应的k。

样例输入

1
7 3

样例输出

8

解题思路

样例分析

我们以输入样例举例子，假设有7升水，3个容器。我们手动的写出它所有的组合。分3种情况：

用一个容器

 7、0、0

只有这一种组合

用两个容器

1、6
2、5
3、4

有上面三种组合

用三个容器

1、1、5
1、2、4
1、3、3
2、2、3

一共有四种组合

建立模型

我们用 f(m,n) 来表示 m 升水倒入 n 个容器的组合数
那么样例输入的例子可以表示为 f(7, 3)

7升水装入一个容器

我们很容易想到的表达式为 f(7,1)，并且 f(7, 1) = 1

7升水装入两个容器

装入两个容器的意思是这两个容器中水的容量至少为1升。那么我们先把 7 升水拿出 2 升放入这两个容器中，则问题可以转化为 5 升水放入这 2 个容器中，即 f(5,2)

7升水装入三个容器

按照上面的思想，我们先拿出 3 升水装入这 3 个容器中，剩下 4 升水，那么问题可以转化为 f(4,3)

模型总结

通过上面的分析我们可以得出一个结论：

f(7,3) = f(7,1) + f(5,2) + f(4,3)

那么推广到 f(m,n)：

f(m,n) = f(m,1) + f(m-2,2) + f(m-3,3) + ... + f(m-n,n)

可以得出，我们可以用递归来解决这个问题

边界数据

对于 f(m,n) 来说

m = 1  f(1,n) = 1;
n = 1  f(m,1) = 1;
m < n  n = m;           //如 f(2,3) 与 f(2,2) 的结果是一样的

Java源码

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws FileNotFoundException {
        Singleton singleton = new Main();
        File file = new File("D:/data");
        Scanner scanner = new Scanner(file);
        int k = scanner.nextInt();
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            int m = scanner.nextInt();
            int n = scanner.nextInt();
            System.out.println(singleton.fun(m, n));
        }
    }

    public int fun(int m, int n) {
        System.out.println("fun(" + m + "," + n + ")");
        int sum = 0;
        if (m == 1 || m == 0 || n == 1)
            return 1;
        if (m < n)
            n = m;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (i == 1)
                sum += fun(m, i);
            else
                sum += fun(m - i, i);
        }
        return sum;
    }
}

输入

D:/data
1
7 3

输出

fun(7,3)
fun(7,1)
fun(5,2)
fun(5,1)
fun(3,2)
fun(3,1)
fun(1,2)
fun(4,3)
fun(4,1)
fun(2,2)
fun(2,1)
fun(0,2)
fun(1,3)
8