Leetcode 3490. Count Beautiful Numbers

• Leetcode 3490. Count Beautiful Numbers
  • 1. 解题思路
  • 2. 代码实现

• 题目链接：3490. Count Beautiful Numbers

1. 解题思路

这道题能够自力搞定还是蛮开心的。

这道题主体的思路其实很清晰，就是将题目变换一下，变成写作一个count(n)函数来求取不大于数字$n$的全部beautiful number的数目，这样，原始问题的答案就变成了count(r) - count(l-1)。因此，我们只需要考察这个count函数的实现即可，不过到这里其实也没怎么简化问题也就是了。

问题的关键在于这里这个beautiful number的定义，他是说其各个位上所有数的积能够被其各个位上的所有数的和整除。而题目中限制$n\le 10^9$，因此事实上最大的数也就是$999999999$，各个位上的digit的和最大也就是$81$，因此，我们就可以变换命题为：

• 求出所有不大于$n$，且其各个位上的数字之和等于$k$，且其积能够被$k$整除的数的个数。

遍历$k$从$1$到$81$，即可求出不大于$n$的所有beautiful number的个数。

因此，命题最终也就变成了：

• 求出所有不大于$n$，且其各个位上的数字之和等于$k$，且其积能够被$k$整除的数的个数。

对于这个问题，我们就可以将其转换为一个动态规划的问题了，就是考察其每一个位上的数据的取值，然后考察其和以及积的变化即可。唯一需要注意的是：

• 开头的0不能被计算到乘积当中，否则其就总是可以被$k$整除了；
• 需要考察当前位上的数的取值能否超过$n$上的同一位置的数，即，如果两者之前的数均相同，那么当前位上的数取值不能超过$n$上的同一位置的数。

2. 代码实现

给出最终的python代码实现如下：

class Solution:
    def beautifulNumbers(self, l: int, r: int) -> int:
        
        def count_beatiful_numbers(num):
            if num <= 10:
                return num
            
            num_str = str(num)
            n = len(num_str)
            
            @lru_cache(None)
            def dp(idx, _sum, _prod, allow_larger, is_all_leading_zeros):
                if idx >= n:
                    return 1 if _sum == 0 and _prod == 1 else 0
                elif _sum == 0:
                    return 1
                elif 9 * (n-idx) < _sum:
                    return 0
                
                if allow_larger:
                    ans = 0
                    if is_all_leading_zeros:
                        ans += dp(idx+1, _sum, _prod, allow_larger, True)
                        for i in range(1, min(10, _sum+1)):
                            ans += dp(idx+1, _sum-i, _prod // gcd(_prod, i), True, False)
                    else:
                        for i in range(min(10, _sum+1)):
                            ans += dp(idx+1, _sum-i, _prod // gcd(_prod, i), True, False)
                else:
                    digit = int(num_str[idx])
                    ans = 0
                    if is_all_leading_zeros:
                        if digit == 0:
                            ans += dp(idx+1, _sum, _prod, False, True)
                        else:
                            ans += dp(idx+1, _sum, _prod, True, True)
                        for i in range(1, min(digit, _sum+1)):
                            ans += dp(idx+1, _sum-i, _prod // gcd(_prod, i), True, False)
                        if digit != 0 and digit <= _sum:
                            ans += dp(idx+1, _sum-digit, _prod // gcd(_prod, digit), False, False)
                    else:
                        for i in range(min(digit, _sum+1)):
                            ans += dp(idx+1, _sum-i, _prod // gcd(_prod, i), True, False)
                        if digit <= _sum:
                            ans += dp(idx+1, _sum-digit, _prod // gcd(_prod, digit), False, False)
                return ans
            
            ans = 0
            for i in range(1, 82):
                ans += dp(0, i, i, False, True)
            return ans
        
        return count_beatiful_numbers(r) - count_beatiful_numbers(l-1)

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