Rhythm Game_agc072分析与解答

先把题目转化为一个调度问题：去踩一个按钮要从原点出发，按下按钮，回到原点，将这个过程视为执行（完成）一个任务，这样，每个任务有一个释放时间，必须在这个时间点或其后开始这个任务才可以，i号任务的释放时间是：T_i-X_i，减去X_i因为从原点到X_i的位置需要X_i时间，然后一旦开始这个任务，这个任务所花费的时间是2X_i，除此之外，由于按钮只持续D+0.5秒，这个任务还有一个最晚结束时间，是（释放时间+经过时间+D+0.5）=T_i+X_i+D+0.5，由于移动速度是1，所以在整数坐标点上时的时刻一定也是整数，最晚结束时间指的是回到原点时的时刻，原点是整数点，所以最晚结束时间中的0.5可以忽略。

经过以上分析，每个任务有：
释放时间（release time） T_i-X_i

经过时间 (cost) ：2X_i

最晚完成时间(deadline aka. ddl)：T_i+X_i+D

如果没有release time，也就是不用等待一个任务被释放就可以直接去执行这个任务，那么按照ddl从小到大的顺序执行任务最优

如果有release time应该如何安排任务执行顺序呢？这里有一个关键观察：如果先执行了某个ddl靠后的任务，则ddl靠前的任务一定被释放，证明：执行完ddl靠后的任务 i 的最早时间是T_i+X_i，而ddl靠前的任务 j 的释放时间是T_ j - X_ j <= T_j + X_ j <=T_ i + X_ i

当完成一个任务 i 后，比i的ddl靠前的任务都被释放了，除此之外的是比i的ddl晚的任务，顺利完成任务也就是在所有任务的ddl前分别完成他们，那么应该先去执行比 i 的ddl靠前的任务 j1,j2,j3...

执行j1,j2,j3..时，谁的ddl靠前谁先执行。

将所有任务按照ddl从小到大排序，则执行的任务编号形成这样的结构：

当完成任务 j 后，从j之后的任务中选一个任务 i 执行，执行完 i 后，分别执行 j+1,j+2,,,i-1，之后任务1到任务 i 执行完成

这个结构启示我们用dp解决，定义dp[i]为完成第1个到第n个任务的最早时间

之后的dp内容，参考：Editorial - AtCoder Grand Contest 072

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long ;

const ll maxn=5000+5,inf=1e15;
struct Task{
    ll t,x;
    bool operator < (const Task &rhs) const {
        return t+x<rhs.t+rhs.x;
    }
}task[maxn];
ll d,n;
ll dp[maxn];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    freopen("D:/in.txt","r",stdin);

    ll T;cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>d;
        for(ll i=1;i<=n;i++) cin>>task[i].t>>task[i].x;
        stable_sort(task+1,task+1+n);

        for(ll i=0;i<=n;i++) dp[i]=inf;
        dp[0]=0;
        for(ll j=0;j<=n;j++){
            ll sum=0,ma=-inf;
            for(ll i=j+1;i<=n;i++){
                ll t0=max(dp[j],task[i].t-task[i].x)+2*task[i].x;
                if(t0<=task[i].t+task[i].x+d){
                    if(ma<=d-t0){
                        dp[i]=min(dp[i],t0+sum*2);
                    }
                }
                sum+=task[i].x;
                ma=max(ma,2*sum-task[i].t-task[i].x);
            }
        }
        if(dp[n]<inf) cout<<"Yes"<<"\n";
        else cout<<"No"<<"\n";
    }


    return 0;
}