Lucky Chains_Educational Codeforces Round 139

https://codeforces.com/problemset/problem/1766/D

首先有一个性质

gcd(a,b) (a<b) = gcd(a,a+d) (d>0) 

gcd(a,a+d) = gcd(a,d)，这个式子可以这样理解，求a和a+d的最大公因数时，a是可以整除这个最大公因数的，要让a+d能整除这个最大公因数，则只需要d能整除这个最大公因数

题目给出一组(a , b)，求能让a+i和b+i互质， 0<=i<=k，最大的k是多少

因为a+i和b+i的差就是初始的差d=b-a，所有gcd(a+i,b+i)=gcd(a+i,d)

问题转化为，求能让a+i和d互质， 0<=i<=k，最大的k是多少

先来看a和d是否互质，如果d是1，那么任何数和d互质，输出-1

如果d大于1，则对d分解质因数，对d的每一个质因数p：

如果a可以整除p，则a和d不互质

如果a不能整除p，那么当a%p=r的时候，a增加p-r，可以整除p

例如 3%5=3，3最少增加2变成5后会整除5

所以当a可以整除p的时候，恰好a%p=0，a只能增加0

对d的每个质因数p_i，计算a能增加的数量，取这些数量中的最小者就是答案

对d使用试除法分解质因数的复杂度是 根号n ，通过预处理计算出每个数 i 的最小质因数spf[ i ]，可以在log(n)时间分解出d的质因数

先来看看怎么计算每个数的最小质因数spf[i]，这些数从1到n，初始时，所有数的spf都是0，使用筛法，从i=2开始遍历到 根号n，如果当前spf[i]=0，则说明这个数没有被他的最小素因子筛过，也就是说这个数就没有素因子，是一个素数，将这个数i的倍数：i 2i 3i ... 的spf都设置成i，如果spf[ i的倍数 ]不等于0的话不设置，因为这个数已经被最小的质因子筛过了，当前的i是这个数的质因子但是不是最小的

这样筛下来复杂度是O(n），筛完后，如果一个数的spf值还是0的话，这个数是质数，其spf值为其本身

之后对d分解质因数的时候，让d不断除以spf[d]直到不能整除，此时d变成d'，再让d'不断除以spf[d1]，依此类推，最后直到d变成1，由于指数爆炸，分解质因数的复杂度是log(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long ;

const ll maxn=1e7+5,c=1e7,inf=1e9;
ll spf[maxn];       //smallest prime factor
ll n;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);

    //预处理2-1e7中每个数的spf
    for(ll i=2;i*i<=c;i++){
        if(spf[i]==0){      //i是质数
            for(ll j=1;i*j<=c;j++){     //将以i作为spf的数筛出来
                if(spf[i*j]==0) spf[i*j]=i;
            }
        }
    }

    cin>>n;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        ll x,y;cin>>x>>y;
        ll d=y-x;
        if(d==1) {
            cout<<-1<<"\n";
            continue;
        }
        //对d分解质因数
        vector<ll> pf;
        while(d!=1){
            ll t=spf[d];
            if(t==0) t=d;
            while(d%t==0){
                d/=t;
            }
            pf.push_back(t);
        }
        ll ans=inf;
        for(ll i=0;i<pf.size();i++){
            //printf("对于因数：%lld，x最长能多走%lld\n",pf[i],x-x%pf[i]);
            if(x%pf[i]==0) {
                ans=0;break;
            }
            ans=min(ans,pf[i]-x%pf[i]);
        }
        cout<<ans<<"\n";
    }
    return 0;
}