LeetCode 22. Generate Parentheses

Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.

Example 1:

Input: n = 3
Output: ["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]

Example 2:

Input: n = 1
Output: ["()"]

题解：

读题理解提议，题目要求为列举出包含n对括号的所有组合，并按字典顺序输出，看起来并不像一道动态规划题。
在没有思路的情况下，首先列举出简单场景，寻找其中的规律。

n = 1, ()
n = 2, (()), ()()
n = 3, ((())), (()()), (())(), ()(()), ()()()

通过观察可以发现，括号组合可简单分为以下2种：

1. 整个字符串为一个大整体，即第一个 “(” 对应最后一个 “)”，不可切割;
2. 字符串由多个合法的括号组合进行拼接组成，即可切割为多个子字符串，每个字符串都是合法的括号组合。

进一步分析，可得：

1. 第一种字符串由其上方一层的字符串在外围使用一对括号包裹得到；
2. 第二种字符串由其上方多层中的某2个字符串前后拼接而成，其括号的个数是那2个字符串的括号个数之和。

假设 $f(i)$ 代表 $n=i$ 时的结果，可得到以下递推公式：
$$f(1)=[‘‘()"]$$
$$f(i)=sort(distinct([‘‘("+\Sigma f(i-1)+‘‘)",\Sigma f(j)+\Sigma f(k)])),其中i=j+k$$

接下来再根据递推公式编程就很简单了：

import "sort"

func generateParenthesis(n int) []string {
	prths := make([][]string, n)
	var set map[string]bool
	for i := 1; i <= n; i++ {
		if i == 1 {
			prths[i-1] = []string{"()"}
			continue
		}

		set = map[string]bool{}
		for _, p := range prths[i-2] {
			set["("+p+")"] = true
			for j := 1; j < i; j++ {
				k := i - j
				if j > k {
					break
				}
				for _, pj := range prths[j-1] {
					for _, pk := range prths[k-1] {
						set[pj+pk] = true
						set[pk+pj] = true
					}
				}
			}
		}
		tmpPrths := make([]string, 0)
		for p := range set {
			tmpPrths = append(tmpPrths, p)
		}
		sort.Strings(tmpPrths)
		prths[i-1] = tmpPrths
	}
	return prths[n-1]
}