背包问题2

背包问题2

0/1背包问题

题解：

设f(i,x)表示前i件物品，背包容量为x时的最大价值，那么转移式可以表示为f(i,x)=max(f(i-1,x-w[i]+c[i]),f(i-1,x)),那么f(n,m)即为最优解。其实整体思想则表示为从容量为1的开始计算并且后面的计算不断的使用前面已经计算的值，这样就可以避免重复计算。

code：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int dp[500][500],w[500],c[500];
int main(void)
{
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i]>>c[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)   //从背包的大小为1开始试，并获得数据
        {
            if(j>=w[i])
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+c[i]);
            }
            else dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
}

---

还有一道货币系统问题，即已知货币系统有v种面值，求组成面值N的货币有多少种方案？
【样例输入】
3（v) 10(N)
1 2 5(各种面值大小)
【输出样例】
10
题解：
主要思想就是另创一个数组，每读入一种面值对其进行不断加，最后看数组下标为N的大小即为ans。让数组在循环体中滚动运算。
code

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int f[1000];
int main(void)
{
    int v,n,p;
    cin>>v>>n;
    for(int i=1;i<=v;i++)
    {
        cin>>p;
        f[p]++;
        for(int j=p;j<=n;j++)    //滚动计算 
        {
            f[j]+=f[j-p];
        }
    }
    cout<<f[n]<<endl;
} 

---

补上一次简单背包中的一题
数字分组 Ural 1005
将一组数分成两组，让他们的和之差最小，求最小值。
【输入样例】
5
1 2 3 4 5
【输出样例】
1
题解：
其实这题转换一下思路就可以化简为之前用过的装箱问题。即从n个物品中选若干个，求重量小于sum/2的最大值。
code

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int f[1000],dp[1000];
int main(void)
{
    int n,sum=0,max;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>f[i];
        sum+=f[i];
    }
    max=sum/2;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=max;j>=0;j--)    //注意！这里要用倒序，不然会出现重复计算 
        {
            if(dp[j])
                dp[j+f[i]]=1;
        }
        dp[f[i]]=1;
    }
    for(int i=max;i>=0;i--)
    {
        if(dp[i])
        {
            cout<<sum-2*i<<endl;
            break;
        }
    }
} 

---

最后是完全背包问题，其实如果0/1背包理解的话那这个就很好理解了
题目同0/1背包问题，唯一不同的地方是每种物品都有无限多个，求可以获得的最大值
题解：
因为0/1背包有个数限制所以for循环是按照物品来的，而该题没有这个限制故按照包的大小来计算
code:

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int w[5000],c[5000],dp[5000]; 
int main(void)
{
    int n,m,t;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i]>>c[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i>=w[j])
            {
                t=dp[i-w[j]]+c[j];
                if(t>dp[i])
                    dp[i]=t;
            }
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
}