高效判断素数方法

2012/8/2 18:07

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孪生素数： 所谓孪生素数指的是间隔为 2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了。

若n≥6且n-1和n+1为孪生素数，那么n一定是6的倍数。

证明：

∵ n-1和n+1是素数 ┈┈┈┈┈ ①

∴ n-1和n+1是奇数

∴ n是偶数，即n是2的倍数 ┈┈┈┈┈ ②

假设n不是3的倍数，得：

n=3x+1 或 n=3x+2，

如果n=3x+1，则n-1=3x，与①违背，故n≠3x+1；

如果n=3x+2，则n+1=3(x+1)，与①违背，故n≠3x+2；

∴假设不成立，即n是3的倍数，又有②得结论：

n是6的倍数。

由上面的规律可以推出下面结论：

若x≧1且n=6x-1或n=6x+1不是素数，那么n一定不是2和3的倍数。

证明：

∵n=6x-1或n=6x+1，即n=2(3x)-1或n=2(3x)+1或n=3(2x)-1或n=3(2x)+1。

∴n一定不是2和3的倍数。

素数出现规律：

当n≧5时，如果n为素数，那么n mod 6 = 1 或 n mod 6 = 5，即n一定出现在6x（x≥1）两侧。

证明：

当x≥1时，有如下表示方法：

┈┈ 6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1┈┈

不在6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，即2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，它们一定不是素数，所以素数一定出现在6x的两侧。

高效判断一个大于1的数是否为素数：

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bool isPrime(int num)
{
	if (num == 2 || num == 3)
	{
		return true;
	}
	if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5)
	{
		return false;
	}
	for (int i = 5; i*i <= num; i += 6)
	{
		if (num % i == 0 || num % (i+2) == 0)
		{
			return false;
		}
	}
	return true;
}