Race to 1 Again [概率]

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本文介绍了一种使用期望动态规划解决随机选择约数进行连续除法直至结果为1的问题，通过逆向思维计算从任意整数n到达1所需的平均步骤数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=76505#problem/C

题目大意：给一个数n，从n随机选一个【1，n】的约数除，然后得到新n，反复操作直到n等于1，求操作次数的期望；

题目分析：

期望dp：对于期望往往是倒着求，dp[ i ]表示i->1的期望次数，必然是dp[ 1 ]=0,这是最终状态，然后得出 2，3，4.......n的；

当前状态: dp[i]= 1 + dp[i]/cnt + dp[j]/cnt;

< 这一状态到下一状> <约数为1时> <约数为 2->n >

< 态次数+1转移 >

代码：

//author:ACsorry
//result:Yes
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define INF 1<<29
#define maxInt 0x7fffffff
#define SUP 0x80000000
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=100007;


double dp[N];

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    dp[1]=0;
    for(int i=2;i<=100000;i++)
    {
        int cnt=2;
        dp[i]=dp[1];
        int j;
        for(j=2;j*j<i;j++)
        {
            if(i%j==0)
            {
                cnt+=2;//这个地方加2，做得时候忽略了
                dp[i]+=dp[i/j]+dp[j];
            }
        }
        if(j*j==i)
        {
            cnt++;
            dp[i]+=dp[j];
        }
        dp[i]=(dp[i]/cnt+1.0)*cnt/(cnt-1.0);
    }
    int cas=0;
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d: %.10lf\n",++cas,dp[n]);

    }
    return 0;
}