【LightOJ 1038】Race to 1 Again（概率DP求期望）

【LightOJ 1038】Race to 1 Again（概率DP求期望）

题目大意：
对于数字N，随机选择一个N的约数，并用N除它，得到一个新数，作为N。
这样算1步。变为1则结束。
问期望步数。

复杂度搞错了，绕了个大弯。。。感觉开始渐渐对期望求法有感觉了。

最直接的就是期望设未知为已知，然后变未知为已知。

这题其实找的就是$V_n = \sum\limits_{i = 1}^k(V_k+1)$
$V_k表示n的第k个约数，当然V_n也包含在约数内$
这样移项化简后就变成了$V_n = \frac{ \sum_{i = 1}^{k-1}V_k}{k-1}+\frac{k}{k-1}$

通过预处理，遍历i的所有约数，就可以求出从i出发到达1的步数期望了

约数很少，O(nlogn)预处理

傻了，整的很恐怖……

代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <climits>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
#include <list>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>
#define LL long long
#define Pr pair<int,int>
#define fread(ch) freopen(ch,"r",stdin)
#define fwrite(ch) freopen(ch,"w",stdout)

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int msz = 112345;
const int mod = 1e9+7;
const double eps = 1e-8;

double dp[msz];
bool Isp[msz];
int p[msz];
int tp,sz;
int fac[233],fct[233];

double getf(int pos,int mul,double p)
{
    if(pos == sz) return dp[mul]*p;

    double ans = 0;
    for(int i = 0; i <= fct[pos]; ++i)
    {
        ans += getf(pos+1,mul,p);
        mul *= fac[pos];
    }
    return ans;
}

void init()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(Isp,0,sizeof(Isp));
    tp = 0;

    for(int i = 2; i <= 100000; ++i)
    {
        if(!Isp[i])
        {
            p[tp++] = i;
        }

        for(int j = 0; j < tp && p[j]*i <= 100000; ++j)
        {
            Isp[p[j]*i] = 1;
            if(i%p[j] == 0) break;
        }

        int cnt = 1;
        int x = i;

        sz = 0;
        for(int j = 0; j < tp && p[j] <= x; ++j)
        {
            if(x%p[j]) continue;

            fac[sz] = p[j];
            fct[sz] = 0;
            while(x%p[j] == 0)
            {
                x /= p[j];
                fct[sz]++;
            }
            cnt = cnt*(fct[sz]+1);
            sz++;
        }

        if(x != 1) 
        {
            fac[sz] = x;
            fct[sz++] = 1;
            cnt *= 2;
        }

        dp[i] = getf(0,1,1.0/(cnt-1))+cnt*1.0/(cnt-1);
    }
}

int main()
{
    //fread("");
    //fwrite("");

    int t,n;

    init();
    scanf("%d",&t);

    for(int z = 1; z <= t; ++z)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d: %.11f\n",z,dp[n]);
    }

    return 0;
}