基础算法（四）——高精度

高精度

介绍

高精度算法是用于处理大整数运算的，大整数的大小一般是，其位数len(x) <= 1e6，标准数据即x <= 1e9

一般来说考四种情况（大写字母代表大数据，小写字母代表标准范围数据）：

• 大整数相加 A+B
• 大整数相减 A-B
• 大整数乘小整数 A*a
• 大整数除小整数 A/a

具体做法是：将大整数的每一位存放到数组里去，C++里一般先用字符串string将数据读入，然后将每一位存放到整形数组中。这里我们从数据的低位先进行存放，即假设数据x=123456789，那么数组a[0] = 9，方便后续进位操作，这样最后只需要在数组末端直接加一个数。然后结合进位和借位进行逐位运算。

高精度的思想很简单，但是代码需要好好理解一下，最好直接背

核心思想：

这里分四个情况讨论（以下大整数A的第i位都用A[i]表示）：

• 高精度加法：

  

• 高精度减法：

  

• 高精度乘法：

  

• 高精度除法：

  待整理

模板代码：

高精度加法：

// C = A + B
vector<int> add(vector<int> A, vector<int> B) // 返回A+B的值 
{
	int t = 0;
    vector<int> C;
    for(int i=0; i<A.size()||i<B.size(); i++)
    {
		if(i < A.size()) t+=A[i];
        if(i < B.size()) t+=B[i];
        C.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    
    if(t) C.push_back(t);
    
    return C;
}

// auto C = add(A, B);

高精度减法：

// 判断A是否大于B
bool cmp(vector<int> A, vector<int> B)
{
	if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    for(int i=A.size() - 1; i>=0 ; i++)
		if(A[i] != B[i])
            return A[i] > B[i];
        return true;
}

// C = A - B
vector<int> sub(vector<int> A, vector<int> B) // 返回A+B的值 
{
	 
    vector<int> C;
    for(int i=0,t=0; i<A.size(); i++)
    {
        t = A[i] - t;// t = A[i] - t
        if(i < B.size()) t -= B[i]; // t = A[i] - B[i] - t
        C.push_back((t+10)%10); // 得到借位or不借位的结果
        if(t < 0) t = 1; // 需要借位
        else t = 0 // 不需要借位
    }
    
    while(C.size()>1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

// 主函数里的函数调用逻辑
int main()
{
	if(cmp(A, B))
    {
        auto C = sub(A, B);
        
        for(int i = C.size() - 1; i >= 0 ; i --) cout << C[i]; // 打印结果
    }
    else
    {
    	auto C = sub(B, A); 
        
        cout << '-'; // 结果是负数，先输出一个负号
        
        for(int i = C.size() - 1; i >= 0 ; i --) cout << C[i]; // 打印结果
    }
}
 

高精度乘法：

vector<int> mul(vector<int> A, int b)
{
    int t = 0;
    vector<int> C;
    for(int i=0; i<A.size() || t; i++)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i]*b;
        C.push_back(t%10);
        t /= 10;
    }
    
    while(C.size()>1 && C.back()==0) C.pop_back();
    return C;
}

例题1：

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

vector<int> A, B;
vector<int> add(vector<int> A, vector<int> B)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for(int i=0; i<A.size()||i<B.size(); i++)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t%10);
        t /= 10;
    }
    if(t) C.push_back(t);
    return C;
}

int main()
{
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    for(int i=a.size()-1; i>=0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    for(int i=b.size()-1; i>=0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
    
    auto C = add(A, B);

    for(int i=C.size()-1; i>=0; i--) printf("%d", C[i]);
}

例题2：

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

vector<int> A, B;

// A >= B
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if(A.size() != B.size()) return A.size()>B.size();
    for(int i=A.size()-1; i>=0; i--)
    {
        if(A[i]!=B[i]) return A[i] > B[i];
    }
    return true;
}

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    int t = 0;
    vector<int> C;
    for(int i=0; i<A.size(); i++)
    {
        t = A[i] - t;
        if(i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t+10)%10);
        if(t<0) t = 1;
        else t = 0;
    }
    
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;    
}

int main()
{
    string a, b;
    cin >> a >> b;
        
    for(int i=a.size()-1; i>=0; i--) A.push_back(a[i]-'0');
    for(int i=b.size()-1; i>=0; i--) B.push_back(b[i]-'0');

    if(cmp(A, B))
    {
        auto C = sub(A, B);
        for(int i=C.size()-1; i>=0; i--) printf("%d", C[i]);
    }
    else
    {
        auto C = sub(B, A);
        printf("-");
        for(int i=C.size()-1; i>=0; i--) printf("%d", C[i]);
    }
}

例题3：

代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

vector<int> mul(vector<int> A, int b)
{
    int t = 0;
    vector<int> C;
    for(int i=0; i<A.size() || t; i++)
    {
        if(i<A.size()) t += A[i]*b;
        C.push_back(t%10);
        t /= 10;
    }
    
    while(C.size()>1 && C.back()==0) C.pop_back();
    
    return C;
}

int main()
{
    string a;
    int b;
    
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A;
    for(int i=a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    
    auto C = mul(A, b);
    
    for(int i=C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    
    return 0;
}

例题4：

代码

待整理