（实时更新）蓝桥杯知识点笔记 | （五）动态规划之基础DP

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3. 动态规划（一）基础简单DP

这类dp主要是一些状态比较容易表示，转移方程比较好想，问题比较基本常见的。主要包括递推、LIS（最长递增序列），LCS（最长公共子序列）

3.1 递推

数字三角形

题目

代码

// 数字三角形
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e2 + 10;
int a[N][N]; // 存储结点的值
int b[N][N]; // 存储到达该结点的最大的路径和
int n;


int main()
{
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
            cin >> a[i][j];

    b[1][1] = a[1][1];

    for(int i=2; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i; j++)
        {
            if(j == 1)
            {
                b[i][j] = b[i-1][j] + a[i][j];
            }
            else if(j == i)
            {
                b[i][j] = b[i-1][j-1] + a[i][j];
            }
            else
            {
                b[i][j] = max(b[i-1][j], b[i-1][j-1]) + a[i][j];
            }
        }
    
    int res = 0;
    if(n%2 == 1)
        res = b[n][n/2+1];
    else
        res = max(b[n][n/2], b[n][n/2+1]); 
    cout << res;

}

HDU2018母牛的故事

题目

代码

// 母牛的故事
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 60;

int cow[N];
int n;

int main()
{
    cow[1] = 1;
    for(int i=2; i<=N; i++)
    {
        if(i >= 4) cow[i] = cow[i-3] + cow[i-1];
        else cow[i] = cow[i-1] + 1; 
    }

    int year;
    do
    {
        cin >> year;
        cout << cow[year] << endl;
    }while(year);    
}

HDU2044一只小蜜蜂

题目

代码

// 一只小蜜蜂
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 55;
ll dp[N];

int main()
{
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    // 构造斐波那契
    for(int i=2; i<=N; i++)
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    
    // 输入输出
    int n, a, b;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        cin >> a >> b;
        cout << dp[b-a+1] << endl;
    }
    return 0;
}

HDU2050折线分割平面

题目

代码

3.2 LIS最长递增子序列

AcWing4557.最长上升子序列

// LIS 最长上升子序列
// 对每一个位置i，利用j∈[1, i-1]进行遍历，找出由前面哪个状态获得的dp[i]最优，复杂度O(n*m)
// 状态转移方程：dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
// 最后输出dp数组中的max_element

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1010]={0};
int a[1010]={0};

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        dp[i] = 1; 
    }

    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=i-1; j++)
            if(a[i] > a[j])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);

    cout << *max_element(dp+1, dp+n+1);
}

mokit 2216. 例17.8 合唱队形

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[110];
int dp_up[110]={0};
int dp_down[110]={0};


int main(){
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        cin >> a[i];
        dp_up[i] = dp_down[i] = 1;
    }    
    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=1; j<=i-1; j++){
            if(a[i] > a[j]) dp_up[i] = max(dp_up[i], dp_up[j]+1);
        }
    }
    for(int i=n; i>=1; i--){
        for(int j=n; j>=i+1; j--){
            if(a[i] > a[j]) dp_down[i] = max(dp_down[i], dp_down[j]+1);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) ans = max(ans, dp_down[i]+dp_up[i]-1);
    cout << n-ans;
}   

Acwing1017.怪盗基德的滑翔翼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[110]={0};
int dp[110]={0};

int main(){
    int k; cin>>k;
    while(k--){
        cin >> n;
        int maxlen=0;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            cin >> a[i];
            dp[i] = 1;
        }

        //计算后向最大下降子序列
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=1; j<=i-1; j++){
                if(a[i]<a[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
            }
        }
        maxlen = *max_element(dp+1, dp+n+1);
        //计算前向最大上升子序列
        for(int i=1; i<=n; i++) dp[i] = 1;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=1; j<=i-1; j++){
                if(a[i]>a[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
            }
        }
        maxlen = max(maxlen, *max_element(dp+1, dp+n+1));
        // for(int i=1; i<=n; i++) cout << dp[i] << " ";
        // cout << endl;
        cout << maxlen << endl;
    }
}

Acwing1014.登山

3.3 LCS最长公共子序列

[AcWing] 4555.公共子序列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char a[1010], b[1010];
int dp[1010][1010] = {0};

int main(){
    while(cin >> a+1 >> b+1){
        int n = strlen(a+1), m = strlen(b+1);
        for(int i=1; i<=n; i++){
            for(int j=1; j<=m; j++){
                if(a[i] == b[j]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                else dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]);
            }
        }
        cout << dp[n][m] << endl;
    }
    return 0;
}