组合数+高效求最小公倍数

1. 组合数

题意:给出n个数, 从中取出m个数,一共有几种不同的组合方法?

           例如,从4个数里面拿出2个数,一共有6种不同的方法。


代码实现:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stdio.h>
using namespace std;

int form(int a, int b) {
	if (a < b)
		return 0;
	if (b == 0)
		return 1;
	return form(a - 1, b - 1) + form(a - 1, b);
}

int main() {
	int n, m;
	while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
		int asw = form(n, m);
		printf("%d\n", asw);
	}
	
	return 0;
}


实现结果:


2. 高效求最小公倍数

题意:给出两个整数,求出它们的最小公倍数,要求高效完成。

代码实现:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

int main() {
	int n, m, asw;
	while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
		asw = 0;
		for (int i = n;; i += n) {
			if (i%m == 0) {
				asw = i;
				break;
			}
		}
		printf("%d\n", asw);
	}
	
	return 0;
}

实现结果:


### 学关系分析 对于任意三个正整 \(a\)、\(b\) 和 \(c\),其最小公倍数 \(\text{lcm}(a, b, c)\) 和最大公约 \(\gcd(a, b, c)\) 的学关系可以通过以下方式描述: #### 关键概念 1. **两个的关系** 对于两个正整 \(x\) 和 \(y\),有如下基本性质: \[ x \cdot y = \gcd(x, y) \cdot \text{lcm}(x, y) \] 这一性质表明,两个的乘积等于它们的最大公约最小公倍数的乘积。 2. **扩展至三个的情况** 当涉及三个时,可以逐步应用上述公式。具体来说,先计算前两个的 \(\gcd\) 和 \(\text{lcm}\),然后再将其结果用于第三个的运算。最终得到的结果满足类似的分解形式[^1]。 3. **三间的通用表达式** 假设已知 \(\gcd(a, b, c)\) 表示的是这三个共同拥有的最大因子,则最小公倍数可表示为: \[ \text{lcm}(a, b, c) = \frac{a \cdot b \cdot c}{\gcd(a, b) \cdot \gcd(b, c) \cdot \gcd(c, a)} \times \gcd(a, b, c) \] 上述公式的核心在于考虑了所有可能的重叠因合,并通过分母中的多个二元 \(\gcd\) 来消除重复计的部分[^2]。 4. **特殊情况讨论** 如果三个互质(即彼此间无公共因子),则此时 \(\gcd(a, b, c) = 1\),而最小公倍数简化为这些的简单乘积: \[ \text{lcm}(a, b, c) = a \cdot b \cdot c \] #### 实现逻辑说明 在实际程序实现中,通常采用迭代方法逐一解每一对的最大公约最小公倍数。例如,在 C++ 或 Python 中,可通过嵌套调用来完成这一过程。以下是基于 Python 的代码示例展示该思路: ```python import math def gcd_multiple(*numbers): """ 计算多个的最大公约 """ result = numbers[0] for num in numbers[1:]: result = math.gcd(result, num) return result def lcm_two(a, b): """ 计算两个最小公倍数 """ return abs(a * b) // math.gcd(a, b) def lcm_multiple(*numbers): """ 计算多个最小公倍数 """ result = numbers[0] for num in numbers[1:]: result = lcm_two(result, num) return result # 测试据 nums = (12, 18, 24) print(f"最大公约: {gcd_multiple(*nums)}") # 输出应为6 print(f"最小公倍数: {lcm_multiple(*nums)}") # 输出应为72 ``` 此代码片段展示了如何利用标准库函 `math.gcd` 结合自定义辅助函高效解决多变量情况下的问题。 --- ### 总结 综上所述,尽管不存在像两那样简洁明了的一次性公式直接关联三个最小公倍数与最大公约,但借助逐步拆解的思想以及合理运用二元操作符,仍然能够清晰揭示两者之间的深层次联系[^3]。
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