快速幂求解

快速求正整数次幂

Description

lcy gives a hard puzzle to feng5166,lwg,JGShining and Ignatius: gave a and b,how to know the a^b.everybody objects to this BT problem,so lcy makes the problem easier than begin.
this puzzle describes that: gave a and b,how to know the a^b's the last digit number.But everybody is too lazy to slove this problem,so they remit to you who is wise.

Input

There are mutiple test cases. Each test cases consists of two numbers a and b(0<a,b<=2^30)

Output

For each test case, you should output the a^b's last digit number.

Sample Input

7 66
8 800

Sample Output

9
6

题意：求出a的b次方，然后输出所得数的最后一个数字。

这就要用到快速幂，代码如下：

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <cstdio>

#include <cstring>

usingnamespacestd;

 

typedeflonglongLL;

 

LL fun(LL x, LL n){            //快速幂求解函数


    LL res = 1;

    while(n > 0){

        if(n & 1){         //即，n%2==1;


            res = (res * x) % 10;

        }

        x = (x * x) % 10;

        n >>= 1;          //即，n=n/2^1;n<<m表示n*2^m;


    }

    returnres % 10;

}

 

intmain()

{

    LL a, b;

    while(cin >> a >> b)

    {

        cout << fun(a, b) % 10 << endl;

    }

    return 0;

}

快速求正整数次幂，当然不能直接死乘。举个例子：

3 ^ 999 = 3 * 3* 3 * … * 3

直接乘要做998次乘法。但事实上可以这样做，先求出2^k次幂：

3 ^ 2 = 3 *3
3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2)
3 ^ 8 = (3 ^ 4) * (3 ^ 4)
3 ^ 16 = (3 ^ 8) * (3 ^ 8)
3 ^ 32 = (3 ^ 16) * (3 ^ 16)
3 ^ 64 = (3 ^ 32) * (3 ^ 32)
3 ^ 128 = (3 ^ 64) * (3 ^ 64)
3 ^ 256 = (3 ^ 128) * (3 ^ 128)
3 ^ 512 = (3 ^ 256) * (3 ^ 256)

再相乘：

3 ^ 999
= 3 ^ (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1)
= (3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4)* (3 ^ 2) * 3

这样只要做16次乘法。即使加上一些辅助的存储和运算，也比直接乘高效得多（尤其如果这里底数是成百上千位的大数字的话）。

我们发现，把999转为2进制数：1111100111，其各位就是要乘的数。这提示我们利用求二进制位的算法（其中mod是模运算）：

REVERSE_BINARY(n)
1 while (n >0)
2     do output(n mod2)
3       n ← n / 2

这个算法给出正整数n的反向二制进位，如6就给出011（6的二进制表示为110）。事实上这个算法对任意的p进制数是通用的，只要把其中的2换成p就可以了。

如何把它改编为求幂运算？我们发现这个算法是从低位向高位做的，而恰好我们求幂也想从低次幂向高次幂计算（参看前面的例子）。而且我们知道前面求出的每个2^k次幂只参与一次乘法运算，这就提示我们并不把所有的中间结果保存下来，而是在计算出它们后就立即运算。于是，我们要做的就是把输出语句改为要做的乘法运算，并在n减少的同时不断地累积求2^k次幂。

还是看算法吧：

POWER_INTEGER(x, n)
1 pow ← 1
2 while (n >0)
3     do if (n mod2 = 1)
4            then pow ← pow * x
5       x ← x * x
6       n ← n / 2
7 return pow

不难看出这个算法与前面算法的关系。在第1步给出结果的初值1，在while循环内进行运算。3、4中的if语句就来自REVERSE_BINARY的输出语句，不过改成了如果是1则向pow中乘。5句则是不断地计算x的2^k次幂，如对前面的例子就是计算2^2、2^4、2^8、…、2^512。

应该指出，POWER_INTEGER比前面分析的要再多做两次乘法，一次是向pow中第一次乘x，如2^1也要进行这个乘法；另一次则是在算法的最后，n除以2后该跳出循环，而前面一次x的自乘就浪费掉了（也可以考虑改变循环模式优化掉它）。另外，每趟while循环都要进行一次除法和一次模运算，这多数情况下除法和模运算都比乘法慢许多，不过好在我们往往可以用位运算来代替它。

相应的C++代码如下：

NumberType pow_n(NumberType x, unsigned intn)
{
    NumberTypepw =1;

   while (n > 0) {
       if ((pw % 2) == 1)
           pw *= x;
       x *= x;
       n /=2;

   }

   return pw;
}

进行简单的优化后则有：

NumberType optimized_pow_n(NumberType x,unsigned int n)
{
   NumberType pw =1;

   while (n > 0) {
       if (n &1)       // n& 1 等价于 (n % 2) == 1
           pw *=x;
       x *= x;
       n >>=1;       // n>>= 1 等价于 n /=2
   }

   returnpw;
}

注1：快速求幂算法POWER_INTEGER常被写成递归的形式，算法实质完全相同，但却是无必要的。

注2：这个算法并不是做乘法数最少的，但多数情况下是足够快并且足够简单的。如果单纯追求做乘法数最少，则未必应该用2^k次幂进行计算。如果还允许做除法，则问题会进一步复杂化。

如：

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 16 = (x ^ 8) * (x ^8)
x ^ 31 = (x ^ 16) * (x ^ 8) * (x ^ 4) * (x ^2) * x
要8次乘法。

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 10 = (x ^ 8) * (x ^ 2)
x ^ 20 = (x ^ 10) * (x ^ 10)
x ^ 30 = (x ^ 20) * (x ^ 10)
x ^ 31 = (x ^ 30) * x
只要7次乘法。

x ^ 2 = x * x
x ^ 4 = (x ^ 2) * (x ^ 2)
x ^ 8 = (x ^ 4) * (x ^ 4)
x ^ 16 = (x ^ 8) * (x ^ 8)
x ^ 32 = (x ^ 16) * (x ^ 16)
x ^ 31 = (x ^ 32) / x
只要6次乘或除法。

不过具体得出上述乘（除）法数更少的算法会变得相当复杂，在许多情况下时间收益还会得不偿失。因此往往并不实用。