漫谈 Clustering 系列 - 笔记

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原创最新推荐文章于 2026-05-02 14:42:27 发布 3.3k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

逻辑回归：利用Python实现二分类算法通过使用Python编写的代码，我们可以训练逻辑回归模型并进行预测。接下来，我们将实现逻辑回归算法的训练函数。训练函数将接受训练数据集X和对应的标签y，以及学习率alpha和迭代次数num_iterations。训练完成后，我们可以使用训练得到的参数theta来进行预测。在这个例子中，我们有一个包含4个样本的训练数据集X，每个样本有两个特征。在这个例子中，如果预测概率大于等于0.5，则预测为类别1，否则预测为类别0。现在，我们可以使用训练函数来训练模型。根据给定的样本x_new，预测函数将返回相应的类别。阅读详情

假期发现个神博客，把博主资料拉出来膜拜Orz

Chiyuan Zhang

Computer Science& Artificial Intelligence Laboratory (CSAIL)

The Center forBrains, Minds & Machines (CBMM)

MassachusettsInstitute of Technology (MIT)

下面笔记下聚类系列文章。

漫谈 Clustering 系列

· 漫谈 Clustering (1): k-means

K-means是将N维欧式空间中的点进行聚类的经典算法，很简单。

对于每一个 cluster ，我们可以选出一个中心点 (center) ，使得该 cluster 中的所有的点到该中心点的距离小于到其他 cluster 的中心的距离。

距离用欧式距离，就是两个向量的差的模；中心是到类内所有点的距离之和最小的位置，经计算可知中心就是所有类内点的平均值，所以叫K-means(K均值)。其中K是类别数，需要用户指定。

计算步骤略文中有详细讲解。复杂度O(N)

存在的问题

1. 不能自动确定 聚类个数K

如何确定聚类个数呢？可以观察数据，根据先验知识自行确定（这不是废话= =）；还有专门确定聚类个数的方法，大致就是用特定的目标函数衡量K，求个目标函数极值。
抛开K-means不讲，好些方法都需要给定聚类数，pluskid后面专门写了篇文讨论聚类数的。一些方法在聚类的过程中可以对类进行分裂或组合，从而改变类的个数，使目标函数最大的类别数是非平凡的（不像K-means, 使各距离最小的聚类个数就是点数，即每个点自己一类，当然距离最小，这样平凡的结果不是我们想要的）。层次聚类的方法干脆不给出一个确定的聚类方案，各种类别数的都有，要啥随便取，绕开了类别数的问题。

2. 中心初值的选取影响聚类结果

想象目标函数是个大波浪线，九曲十八弯，计算过程相当于在线上走，每次都会向下走一点，直到陷入一个坑中，作为最终结果。显然，最初站位的好坏影响着最终结果。

3. 容易受噪声干扰。

中心是类内所有点的均值，如果有个噪声点，夸张点，在整体数据集的十万八千里外，一均值，它会把所在类别的中心给扯走老远。

4. 聚类结果是个球形。类内的点离中心点的欧式距离最近，这些点会以中心点为圆心成球形（或者超球体）。其他形状的就不适用了。

并且点的距离可以用欧式距离来衡量。后面介绍的方法，有些只要知道两两点之间的相似度就好了。对于K-Means，只有相似度矩阵，不能直接用，除了用相似度来代替欧拉距离外，中心也不再是简单的均值了。

· 漫谈 Clustering (2): k-medoids

有时欧氏距离是不适用的，比如数据为整数，有0和1，均值为0.5是要闹哪样= =. 所以用相似度矩阵代替吧，可以人为设定点的相似度，扩展性更好，还方便诸如半监督的改进（例如，已知某些点不在同类，减小对应相似度的值就好了）。上面提到如果用相似度矩阵代替，中心就不再是均值了，那该是什么呢？K-medoids里用数据点作为类的中心，即选择与类内点的相似度之和最大的点作为中心。计算过程与K-means类似，但是要选出中心，复杂度较高O(N^2). 相比更robust，因为中心是实际的数据点，受噪声影响更小。

· 漫谈 Clustering (番外篇): Vector Quantization

突然扯到向量量化，作为K-means的应用介绍。向量量化，我的理解就是从N维向量空间到一维实数域的映射，嗯，就是把向量压缩成一个数。乍一看，想到的是自组织映射。文中用的聚类，大致是把一堆向量聚成好几类，用类号来代表每个向量，聚类的方法当然就用经典的K-means啦。这么干有什么好处呢，比如做图像压缩，有损的压缩，每种颜色(R,G,B)就是个向量，可以把相似的颜色用一种颜色代替。哪些颜色相似呢？聚类啊！事先存个颜色表，里面是每类的中心，图像里每个像素上只要存类号即可，不用存整个颜色向量了。

说起图像压缩，之前写过几个，哈夫曼和小波。

Huffman编码，这个大家都知道的，大致思想是把数据都重新编码，希望出现频率高的数据编码短，频率低的编码长，从而降低平均码长。对于颜色比较单一的效果好，如果颜色比较多，外加存个码表，有时压缩了反而更大。。

小波编码，将图像小波变化下，分成四个频带，大部分信息都聚集在低频子带，高频子带中聚集着图像边缘和纹理信息。压缩图像，可以只取低频子带，扔掉其余的，或者再花些功夫，把高频子带编码下，常见有EZW和SPINT算法。

· 漫谈 Clustering (3): Gaussian Mixture Model

GMM和K-means很像（GMM中各类的方差和聚类系数相等，再取个ln，就相当于是K-means，再乘些常数系数）。相比K-means，GMM不仅可以给出点的类别，还能给出点属于该类的概率，称作软划分(soft)，K-means就是硬划分(hard).在聚类方面，可以认为每类的点遵循一个高斯分布，均值就是类的中心。把K类的高斯分布乘上权重（聚类系数）加起来，就是高斯混合模型GMM. GMM说是可以任意程度近似任意连续函数（高大上= =），经常用来估计密度。

计算上，抛去类别数K，需要求三组参数，各类的聚类系数、均值和方差。

从似然估计的角度，希望数据出现的概率尽量大，假设各数据独立出现，这个概率就是p(xi)的乘积(i=1..N)。用这个式子（通常先取个ln，方便计算）分别对那三组参数求导，取导数为零时的极值，即为各参数的似然估计解。不过解的形式比较复杂，没方直接算，一般用EM迭代着算个局部最优解出来。

另一种角度是Bayes估计，希望类别的后验概率尽量大，和似然估计的差别是多乘了个先验概率 p(K|X)=p(X|K)*p(K)/p(X) 通常忽略p(X)不计，不影响类别。比如抛硬币，抛了10回都是正面（这人品），似然估计出来正面概率是1，反面是0，这显然不对啊。如果加上先验概率，p(正)=p(反)=0.5，后验概率顶多正面概率大些，反面不至于为零。可以看出没有先验知识的似然估计容易过拟合数据。当数据量足够大时，Bayes估计向似然估计收敛，殊途同归嘛。但是这先验概率也不是那么好加的，通常只是选择和后验概率相同形式的模型，方便计算。

具体过程见链接吧，详细推导见《Patternrecognition and Machine learning》Chapter9 讲的清楚漂亮。

计算复杂度上，GMM的EM过程比K-means慢不少，一种方法是先用K-means算个大概的均值（中心），作为GMM的初值，再EM，速度快效果好（聚类是各种算法的好助手= =~）。

文中还谈到机器学习的归纳偏执。为了将学到知识存起来，并用于新事物，人会进行归纳。对应着机器学习，就是算法假设的模型，比如假设这个概率密度是高斯分布，要做的是归纳出高斯分布的参数。归纳的太细，会过拟合数据；太宽泛，效果又不好。难点在于找到那个平衡点。

“不过人在这里相对于（现在的）机器来说有一个很大的优势：人通常不会孤立地用某一个独立的系统和模型去处理问题，一个人每天都会从各个来源获取大量的信息，并且通过各种手段进行整合处理，归纳所得的所有知识最终得以统一地存储起来，并能有机地组合起来去解决特定的问题。”

机器学习，人工智能，希望机器能像人一样学习，从而代替人来完成一些工作。问题就来了，能否像教人类一样的教机器？人类远比当今的机器复杂，某行为学习的项目研究多年，也只训练出两岁人类的智商，谷歌那边的大脑貌似有某种小动物的智商了。另一方面，机器能做到人都无法做到的，快速的计算能力，打败了棋王什么的。人都不知道的事，怎么去教机器。就像是聚类，结果出来之前，人自己都不清楚有什么，聚完之后，还得观察分析一番才知道，哦，原来这类是水果脑残粉啊。传统的方法像教人类一样地教机器。比如语音识别，希望机器从语法学起，从而识别语音，合情合理，却始终没什么进展。深度学习一蹦出来，不教你了，你自己“脑”补去吧！结果搞出翻天覆地的进展，现在语音识别遍地都是。用机器的方式来教机器。

o 漫谈 Clustering (追忆篇): Regularized GMM

这篇是讲混合高斯模型的方差，怎么计算避免平凡解。（高大上= = 好吧我就是没看懂…）

啊，说起混合高斯模型的方差，如果某高斯模型的均值等于某数据点，那么它的方差容易得到无穷小。想象，方差越小，波峰越抖，在该数据点的概率就越大，似然估计值就越大，所以求似然估计时方差会趋向于无穷小。但是高斯模型不会有这种问题，因为还要顾及其他数据点，而混合高斯模型中有好几个高斯模型，让其他高斯模型去顾及那些数据点吧，哇哈哈（小恶魔怎么跑出来了= =）。另外Bayes估计也不会有这种问题。

· 漫谈 Clustering (番外篇): Expectation Maximization

之前求GMM的似然估计时用到的EM算法，看链接吧= =。

· 漫谈 Clustering (4): Spectral Clustering

“Spectral Clustering 其实就是通过 Laplacian Eigenmap 的降维方式降维之后再做 K-means 的一个过程。”这个降维过程，大致就是把相似度矩阵整一整，求个特征值和特征向量，保留前M小的特征值对应的特征向量，得到N*M维的矩阵，相当于从N维降到M维。文中从图分割的角度分析了原理。这么看来，谱聚类真是很适合社团检测。

谱聚类的优点

只用相似度矩阵；抓住主要矛盾，忽略次要的东西；计算复杂度比K-means小。后两项都是降了维，适用于维度非常高的问题。这么说起来，不用K-means，降了维用其他方法聚类也可以哦。

· 漫谈 Clustering (番外篇): DimensionalityReduction

Curse of dimension 说的就是维度太高导致的灾难，许多算法的复杂度都与数据的维度相关。为了减小维度，有两类方法，feature selection 和dimensionality reduction. 前者是从原有维度中选择重要的维度，后者是重新计算出新的维度。Feature selection 也看作是dimensionality reduction的特殊情况。

降维的目的通常是为了方便计算，希望尽可能地保留原有信息。于是问题转化为如何衡量对信息的保留程度。

一种衡量方式是新旧特征向量的欧氏距离（reconstruction error）。两个向量维度不同，可以用个常量把维度不足的地方补全。

另一种方式是用方差来衡量信息量，希望它尽量的大。

当降维函数为线性的，两种方式会得到同样的结果，这种方法就是主成分分析（PCA）。线性变换矩阵大致就是每一维（列向量）选择与之前的维度垂直，并且数据方差最大的方向。PCA是降维的经典方法，地位相当于聚类中的K-means。一些缺点：一是限定在线性变换，Kernel PCA用Kernel trick将PCA推广到非线性的情况。二是“PCA实际上可以看作是一个具有 Gaussian先验和条件概率分布的 latent variable 模型，它假定数据的 mean 和 variance 是重要的特征，并依靠 covariance 最大化来作为优化目标，而事实上这有时候对于解决问题帮助并不大。”还真没看出来…回头补下。

PCA的目的是保留数据信息，但并一定有助于分类等其他问题。所以如果是为了其他问题，最好以这些问题为目标函数。比如分类，如果有数据的标签，可以用线性辨别分析（LDA）。LDA也是线性映射模型，目标函数是类内方差尽量小，类间方差尽量大。

如果不知道数据的标签，可以用MDS，目标是保持降维前后数据的相对距离一致。另一种类似的方法是Laplacian Eigenmap（LE），也就是谱聚类用来降维的方法，文中详细介绍了它。不过LE需要的相似度矩阵是局部性的，如果两点离的太远，相似度应为零。“事实上，LaplacianEigenmap 假设数据分布在一个嵌套在高维空间中的低维流形上， Laplacian Matrix L 则是流形的 Laplace Beltrami operator 的一个离散近似。”

此外还介绍了和LE类似的Locally Linear Embedding（LLE），大致就是认为一个点可以通过周围局部点线性组合出来。

LE和LLE都是非线性的，数据变了需要重新算，不像PCA一样保留个变换矩阵可以继续用。于是有人提出它们的线性形式 Locality Preserving Projection 和Neighborhood Preserving Embedding。如果用Kernel Trick再把LPP非线性化，就会又回到LE，说明两者是对应的。

· 漫谈 Clustering (5): Hierarchical Clustering

文中讲的也不多，直接看链接吧。感叹下python真好用。

· 漫谈 Clustering (6):Evaluation & Visualization

还未写，作者加了个油啊