什么是树（Tree），数据结构中一般有哪些树？

树(Tree)的基本概念
树是由结点或顶点和边组成的(可能是非线性的)且不存在着任何环的一种数据结构。没有结点的树称为空(null或empty)树。一棵非空的树包括一个根结点，还(很可能)有多个附加结点，所有结点构成一个多级分层结构。

二叉树

每个结点至多拥有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点)，并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

二叉树的性质

1. 若二叉树的层次从0开始，则在二叉树的第i层至多有2^i个结点(i>=0)
2. 高度为k的二叉树最多有2^(k+1) - 1个结点(k>=-1)(空树的高度为-1)
3. 对任何一棵二叉树，如果其叶子结点(度为0)数为m, 度为2的结点数为n, 则m = n + 1

二叉树又分为：完美二叉树，完全二叉树，完满二叉树

完美二叉树(满二叉树)

完全二叉树

完满二叉树

区别

二叉树的遍历方法

中序遍历：即左-根-右遍历，对于给定的二叉树根，寻找其左子树；对于其左子树的根，再去寻找其左子树；递归遍历，直到寻找最左边的节点i，其必然为叶子，然后遍历i的父节点，再遍历i的兄弟节点。随着递归的逐渐出栈，最终完成遍历

先序遍历：即根-左-右遍历

后序遍历：即左-右-根遍历

在Java中常见的树结构

二叉查找树

二叉查找树也称为有序二叉查找树,满足二叉查找树的一般性质,是指一棵空树

具有如下性质：

1. 任意节点左子树不为空,则左子树的值均小于根节点的值

2. 任意节点右子树不为空,则右子树的值均大于于根节点的值

3. 任意节点的左右子树也分别是二叉查找树 没有键值相等的节点

局限性及应用
一个二叉查找树是由n个节点随机构成,所以，对于某些情况,二叉查找树会退化成一个有n个节点的线性链.如下图:

AVL树

AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，和红黑树相比,它是严格的平衡二叉树,平衡条件必须满足(所有节点的左右子树高度差不超过1).不管我们是执行插入还是删除操作,只要不满足上面的条件,就要通过旋转来保持平衡,而旋转是非常耗时的

使用场景：

AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。 也在Windows进程地址空间管理中得到了使用 旋转的目的是为了降低树的高度，使其平衡

AVL树特点： AVL树是一棵二叉搜索树 AVL树的左右子节点也是AVL树 AVL树拥有二叉搜索树的所有基本特点 每个节点的左右子节点的高度之差的绝对值最多为1，即平衡因子为范围为[-1,1]

红黑树

一种自平衡二叉查找树, 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色的方式的限制,红黑树确保从根到叶子节点的最长路径不会是最短路径的两倍，用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低，任何不平衡都会在三次旋转之内解决

使用场景：

红黑树多用于搜索,插入,删除操作多的情况下

红黑树应用比较广泛：

1. 广泛用在C++的STL中。map和set都是用红黑树实现的。
2. 著名的linux进程调度Completely Fair Scheduler,用红黑树管理进程控制块。
3. epoll在内核中的实现，用红黑树管理事件块
4. nginx中，用红黑树管理timer等

原因： 红黑树的查询性能略微逊色于AVL树，因为比AVL树会稍微不平衡最多一层，也就是说红黑树的查询性能只比相同内容的AVL树最多多一次比较，但是，红黑树在插入和删除上完爆AVL树，AVL树每次插入删除会进行大量的平衡度计算，而红黑树为了维持红黑性质所做的红黑变换和旋转的开销，相较于AVL树为了维持平衡的开销要小得多

性质：

1. 节点是红色或黑色。
2. 根节点是黑色。
3. 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。
4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

B树

B-树就是B树,-只是一个符号.

B树(B-Tree)是一种自平衡的树,它是一种多路搜索树（并不是二叉的），能够保证数据有序。同时它还保证了在查找、插入、删除等操作时性能都能保持在O(logn)，为大块数据的读写操作做了优化,同时它也可以用来描述外部存储(支持对保存在磁盘或者网络上的符号表进行外部查找)

特点：

1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2
2. 根结点的儿子数为[2, M]
3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]
4. 每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）
5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1
6. 非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]
7. 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]，其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树
8. 所有叶子结点位于同一层

如：（M=3）

插入与平衡过程

这个图用以表示往 4 阶 B 树中依次插入下面这组数据的过程：
6 10 4 14 5 11 15 3 2 12 1 7 8 8 6 3 6 21 5 15 15 6 32 23 45 65 7 8 6 5 4

4 阶 B 树表示每个节点最多有 4 个子树、3 个关键字，最少有 2 个子树、一个关键字

添加/删除也是一样的，要考虑添加/删除孩子后，父节点是否还满足子树 k 介于 M/2 和 M 的条件，不满足就得从别的节点拆子树甚至修改相关子树结构来保持平衡。

B+树

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树
B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+的特性：

1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的
2. 不可能在非叶子结点命中
3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
4. 更适合文件索引系统

原因： 增删文件（节点）时，效率更高，因为B+树的叶子节点包含所有关键字，并以有序的链表结构存储，这样可很好提高增删效率
如：（M=3）

使用场景：

文件系统和数据库系统中常用的B/B+ 树，他通过对每个节点存储个数的扩展，使得对连续的数据能够进行较快的定位和访问，能够有效减少查找时间，提高存储的空间局部性从而减少IO操作。

他广泛用于文件系统及数据库中，如：
Windows：HPFS 文件系统
Mac：HFS，HFS+ 文件系统
Linux：ResiserFS，XFS，Ext3FS，JFS 文件系统
数据库：ORACLE，MYSQL，SQLSERVER 等中

B树：有序数组+平衡多叉树 B+树：有序数组链表+平衡多叉树

B+ 树的优点：

1. 层级更低，IO 次数更少
2. 每次都需要查询到叶子节点，查询性能稳定
3. 叶子节点形成有序链表，范围查询方便

B+树还有一个最大的好处，方便扫库，B树必须用中序遍历的方法按序扫库，而B+树直接从叶子结点挨个扫一遍就完了，B+树支持range-query非常方便，而B树不支持。这是数据库选用B+树的最主要原因。

比如要查 5-10之间的，B+树一把到5这个标记，再一把到10，然后串起来就行了，B树就非常麻烦。B树的好处，就是成功查询特别有利，因为树的高度总体要比B+树矮。不成功的情况下，B树也比B+树稍稍占一点点便宜。

参考：

常用数据结构——树 - 简书（介绍向）

数据结构（十三）——树-生命不息，奋斗不止-51CTO博客（代码向）