Uva 550 - Multiplying by Rotation

本文介绍了一种通过位运算进行优化的方法。起初采用逐位增加的方式计算特定数值,但效率较低。随后改用逐位判断的方法显著提升了计算速度,并进一步进行了优化。通过具体的C语言代码示例,展示了如何有效地使用位运算来解决实际问题。

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刚开始每次位数加一去计算这个数是多少,结果超时了。改为逐位判断后一下排到了50多位,又稍微优化一下到了20多位,后来无论怎么努力都无法再提高…… 

### 不使用乘法运算的矩阵相乘方法 对于不依赖于传统乘法操作而实现矩阵相乘的需求,可以考虑利用加法和位移操作替代标准乘法。这种方法特别适用于二进制数值表示下的整数矩阵。 #### 使用加法与位移代替乘法 当处理两个较小规模的正整数时,可以通过重复累加的方式模拟乘法效果。例如,要计算 \(a \times b\) 可以通过将 a 加上自己共 b 次来完成。这种思路同样可应用于矩阵元素间的相互作用: 给定两个矩阵 A 和 B ,其中 A 的维度为 m×n 而 B 的维度为 n×p 。为了得到 C=AB 结果中的某个特定位置 c_{ij} 值,则需遍历 k 属于 {1,...,n} 并执行如下逻辑: - 初始化临时变量 temp 到零; - 对每一个非零项 a_{ik}, 将其对应的 b_{kj} 复制到一个新的向量 v 中; - 针对上述获得的每个 v[j], 执行 |v| 次自增操作至 temp 上;这里 |v| 表示取绝对值后的大小; - 更新目标矩阵 C 中对应的位置 c_{ij}=temp 。 此过程实际上就是把常规意义上的 “乘积求和” 替换成了一系列基于条件判断的选择性增量行为[^1]。 然而值得注意的是,在实际应用中完全摒弃硬件层面支持的传统算术指令并不现实也无必要——现代计算机体系结构已经高度优化了此类基础运算性能。因此除非有特殊需求或约束环境(比如某些嵌入式系统),通常不会刻意追求这种方式来进行大规模矩阵运算。 ```python def matmul_without_multiplication(A, B): rows_A = len(A) cols_A = len(A[0]) cols_B = len(B[0]) result = [[0 for _ in range(cols_B)] for __ in range(rows_A)] for i in range(rows_A): for j in range(cols_B): temp = 0 for k in range(cols_A): if A[i][k]: value_to_add = abs(B[k][j]) * (-1)**(B[k][j]<0) # Handle negative numbers while value_to_add != 0: sign = -1 if value_to_add < 0 else 1 value_to_add -= sign temp += A[i][k]*sign result[i][j] = temp return result ```
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