59、优化算法与数据建模技术解析

优化算法与数据建模技术解析

在数据处理和优化领域，存在多种重要的算法和技术，它们在不同的场景中发挥着关键作用。下面将详细介绍非线性最小二乘法、稀疏编码与字典学习以及最小割/最大流问题等相关内容。

1. 非线性最小二乘法

非线性最小二乘法用于解决一般的非线性方程组问题。考虑一个包含 $p$ 个方程和 $q$ 个未知数的系统：
[
\begin{cases}
f_1(x_1, x_2, \ldots, x_q) = 0 \
f_2(x_1, x_2, \ldots, x_q) = 0 \
\cdots \
f_p(x_1, x_2, \ldots, x_q) = 0
\end{cases}
\Leftrightarrow f(x) = 0
]
这里 $f: \mathbb{R}^q \to \mathbb{R}^p$ 是一个二阶可微函数，其分量为 $f_i: \mathbb{R}^q \to \mathbb{R}$，$i = 1, \ldots, p$。根据 $p$ 和 $q$ 的关系，解的情况有所不同：
- 当 $p < q$ 时，解构成 $\mathbb{R}^q$ 的一个 $(q - p)$ 维子集。
- 当 $p = q$ 时，有有限个解。
- 当 $p > q$ 时，通常没有解。

与线性情况不同，在欠约束情况下，解的集合不再构成向量空间，其结构取决于函数 $f_i$ 的性质。在 $p = q$ 的情况下，通常有有限个解而非唯一解。

为了求解这些方程，通常采用迭代方法，这些方法基于函数 $f_i$ 在点 $x$ 附近