4、几何相机校准：线性与非线性方法解析

几何相机校准：线性与非线性方法解析

在计算机视觉和摄影测量领域，相机校准是一项至关重要的任务。它的核心目标是从场景特征的图像位置来精准估计相机的内参和外参。接下来，我们将深入探讨相机校准的相关知识，包括弱透视投影矩阵、仿射投影矩阵，以及线性和非线性相机校准方法。

弱透视投影矩阵与仿射投影矩阵

弱透视投影矩阵在相机校准中扮演着重要角色。它由两个内参（宽高比 $k$ 和倾斜度 $s$）、五个外参（定义 $R_2$ 的三个角度和 $t_2$ 的两个坐标）以及一个与场景相关的结构参数 $Z_r$ 共同定义。其表达式如下：
[M = \frac{1}{Z_r}
\begin{bmatrix}
k & s \
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R_2 \
t_2
\end{bmatrix}
]

而仿射投影矩阵是一个 $2×4$ 的矩阵 $M =
\begin{bmatrix}
A \
b
\end{bmatrix}
$，其中 $A$ 是任意秩为 2 的 $2×3$ 矩阵，$b$ 是 $R^2$ 中的任意向量。值得注意的是，弱透视投影矩阵属于仿射投影矩阵的一种，并且任意仿射投影矩阵都能唯一地（存在符号歧义）表示为一般弱透视投影矩阵。

相机校准的基本原理

相机校准本质上是一个优化过程，旨在最小化观测到的图像特征与其理论位置之间的差异，这个差异是相对于相机的内参和外参而言的。具体来说，假设我们已知 $n$ 个基准点 $P_i$（$i = 1, …, n$