16、随机数生成器测试与变更中心测试方法解析

随机数生成器测试与变更中心测试方法解析

1. 随机数生成器测试

1.1 桶测试（Bucket Test）

当一个随机数生成器（RNG）通过均值和方差测试时，我们有一定信心认为它生成的样本来自具有正确均值和方差的分布，但样本仍可能来自完全错误的分布。例如，一个指数分布生成器和一个正态分布生成器，它们的均值和标准差都为 1，均值和方差测试无法检测出调用这两个生成器时的错误交换。

桶测试的做法是将输出范围划分为 k 个不重叠且覆盖整个输出范围的桶。设 $E_i$ 为第 i 个桶的期望样本数，$O_i$ 为实际观察到的样本数，然后计算卡方统计量：

若该值过大，说明观察到的计数与期望计数差异过大，生成器可能不符合正确的分布；若过小，则说明期望计数与期望值过于一致，缺乏足够的随机变化。

1.1.1 桶的数量

桶的数量很关键。若桶太少，测试要求不高，可能检测不出错误；若桶太多，每个桶中的样本数可能不足，无法满足测试的理论要求。通常的经验法则是每个桶的期望样本数至少为 5。我们可以先确定桶的数量，再选择足够大的样本数 n，以确保每个桶的期望样本数远大于 5。

1.1.2 桶的位置

可以任意决定桶的数量，例如 10 个，并选择边界，使每个桶的期望样本数相等。以测试柯西随机数生成器为例，可以使用柯西分布函数找到截止值 $x_i$（i = 1, 2, 3, …, 9），使 10% 的样本小于 $x_1$，10% 在 $x_1$ 和 $x_2$ 之间，以此类推。此外，如果对某个区域特别感兴趣，也可以将其作为一个桶。

1.1.3 卡方值的范围

如果有