40、正则文法与空间数据建模：左推导与格补的深入探究

正则文法与空间数据建模：左推导与格补的深入探究

在形式语言理论和空间数据建模领域，有两个重要的研究方向值得深入探讨，一是正则文法中的左推导机制，二是偏序集的格补在空间数据模型中的应用。下面将详细介绍这两个方面的相关内容。

正则文法的左推导机制

在图控制文法及其特殊类型的语境下，“左推导”有着不同的含义，且在无约束上下文无关文法中，这些定义是一致的。

类型1左推导

类型1左推导是左解释的最强形式，在推导的每一步，最左边的非终结符都会被重写。规则的适用性受此定义影响，如果规则的左侧不等于当前句型中最左边的非终结符，则该规则不适用。若规则集不适用，推导将按照之前介绍的四种模式之一进行。

定理表明，对于特定的文法类型和推导模式，在类型1左推导下生成的语言与上下文无关语言相等。

以图控制文法为例，通过构造一个上下文无关文法，可以证明在类型1左推导下，图控制文法并不比上下文无关文法更强大。构造的上下文无关文法的规则如下：
1. 若 $u \in \Sigma$ 且 $u’ \in \Pi$，则 $S_0 \to (u, S, u’)$。
2. 设 $(u, r, u’‘) \in E$，在 $\Rightarrow$ 模式下，若 $A$ 不是 $u$ 中任何规则的左侧，则将 $(u, A, u’) \to (u’‘, A, u’)$ 加入规则集；在 $\Rightarrow_c$ 模式下，若 $A$ 不是 $u$ 中某一规则的左侧，则将 $(u, A, u’) \to (u’‘, A, u’)$ 加入规则集。
3. 若 $w \in V_T^ $，则将 $(u, A, u) \to w$ 加入规则集。
4. 假设 $w = x_0B_1x_1B_2 \cdots x_{r - 1}B_rx_r$，其中 $x_i \in V_T^ $ 且 $B_i \in V_N$，若 $(u_0, g, u_r) \in E$，则将 $(u_0, A, u_r) \to x_0(u_0, B_1, u_1)x_1(u_1, B_2, u_2) \cdots x_{r - 1}(u_{r - 1}, B_r, u_r)x_r$ 加入规则集。

可以看出，在类型1左推导的 $\Rightarrow$ 或 $\Rightarrow_c$ 模式下，图控制文法生成的语言与构造的上下文无关文法生成的语言相等。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示类型1左推导的基本流程：

graph TD;
    A[开始推导] --> B{最左边非终结符是否可重写};
    B -- 是 --> C[重写最左边非终结符];
    B -- 否 --> D[按模式继续推导];
    C --> E{是否完成推导};
    E -- 否 --> B;
    E -- 是 --> F[结束推导];
    D --> E;

类型2左推导

类型2左推导的定义是，在推导的每一步，重写最左边可重写的非终结符。这里的“可重写”需要根据四种推导模式分别定义。

• $\Rightarrow_c$ 模式 ：当前状态是一个对 $(x, u)$，其中 $u$ 是节点，$x$ 是句型。选择规则 $A \to w \in h(u)$，若 $x$ 中包含 $A$，则将 $A$ 的最左边出现替换为 $w$，并通过离开节点 $u$ 的绿色弧继续；否则，以 $ac$ 模式应用规则 $A \to w$，通过离开节点 $u$ 的红色弧离开。
• $\Rightarrow$ 模式 ：当前状态为 $(x, u)$，“可重写的非终结符”集合 $N$ 是 $h(u)$ 中规则的左侧集合。若 $x$ 中包含 $N$ 中的符号，找到最左边的符号 $A \in N$，应用规则 $A \to w \in h(u)$ 重写 $A$，并通过离开节点 $u$ 的绿色弧继续；若 $x$ 中不包含 $N$ 中的符号，通过离开节点 $u$ 的红色弧离开。
• $\Rightarrow_{s1}$ 和 $\Rightarrow_{s2}$ 模式 ：当前状态是 $(x, V)$，其中 $V$ 是节点集，$x$ 是句型，“可重写的非终结符”集合 $N$ 是 $\bigcup_{u \in V} h(u)$ 中规则的左侧集合。若 $x$ 中包含 $N$ 中的符号，找到最左边的符号 $A \in N$，应用规则 $A \to w \in h(u)$（$u \in V$）重写 $A$，并通过离开节点 $u$ 的绿色弧继续；若 $x$ 中不包含 $N$ 中的符号，根据 $V$ 中节点的红色弧定义下一个节点集。

相关定理表明，对于某些文法类型和推导模式，在类型2左推导下生成的语言与上下文敏感语言或递归可枚举语言相等。

例如，对于时间变体文法，在不涉及 $ac$ 的情况下，可以通过构造一个时间变体文法来模拟无 $ac$ 的编程文法的类型2左推导。构造的时间变体文法的规则如下：
- 对于 $1 \leq i \leq r$，$h’(v_i) = {[u, 1] \to [u, 1] | u \neq u_i} \cup {A \to (A, u) | (u_i, g, u) \in E}$。
- $h’(v_{r + 1}) = {[u, 1] \to [u’, 2] | (u, g, u’) \in E}$。
- 对于 $1 \leq i \leq r$，$h’(v_{r + 1 + i}) = {[u, 2] \to [u, 2] | u \neq u_i} \cup {(A, u_i) \to w | h(u_i) = {A \to w}}$。
- $h’(v_{2r + 2}) = {[u, 2] \to [u, 1], [u, 2] \to \lambda | u \in U} \cup {S_0 \to [u, 1]w | h(u) = {S \to w}}$。

在非擦除情况下，可以通过将新引入的擦除规则修改为 $[u, 2] \to a$（$a$ 为终结符）来处理。

下面是类型2左推导不同模式的对比表格：
| 推导模式 | 当前状态 | 可重写非终结符集合 | 规则应用及后续操作 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $\Rightarrow_c$ | $(x, u)$ | ${A}$（$A \to w \in h(u)$） | 若 $x$ 含 $A$，重写并走绿色弧；否则走红色弧 |
| $\Rightarrow$ | $(x, u)$ | $h(u)$ 中规则左侧集合 | 若 $x$ 含集合符号，重写并走绿色弧；否则走红色弧 |
| $\Rightarrow_{s1}$ 和 $\Rightarrow_{s2}$ | $(x, V)$ | $\bigcup_{u \in V} h(u)$ 中规则左侧集合 | 若 $x$ 含集合符号，重写并走绿色弧；否则按红色弧定义下节点集 |

类型3左推导

类型3左推导要求每个规则以最左边的方式使用，即其左侧的最左边出现会被重写。相关引理和定理建立了类型3左推导与类型2左推导未分类情况之间的联系，以及不同类型3左推导类之间的关系。

例如，对于某些文法类型和推导模式，在类型3左推导下生成的语言之间存在相等关系。

偏序集的格补在空间数据模型中的应用

在空间数据库中，一组集合及其包含关系可以用偏序集来建模，如地理对象的包含关系或行政单位的层次关系。偏序集的格补（或正规补）是构建有意义的空间细分表示的重要技术。

格补的基本原理

Kainz、Egenhofer和Greasley证明，格补过程中引入的新元素可以解释为偏序集元素的交集，从数学角度看，格补得到的格是给定偏序集关于交集运算的闭包。

例如，对于包含四个集合 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 的集合类 $S$，可以用偏序集 $P$ 表示。若要表示 $S$ 关于集合交集运算的闭包 $S’$，格补后的格 $L$ 可以表示 $S’$，前提是新元素 $E$ 表示集合 $A \cap B$。

然而，在一般情况下，使用格补运算符表示集合交集运算符可能会导致错误结果。

格补应用的局限性及解决方法

通过具体例子可以看出，简单地使用格补可能无法准确表示集合交集。为了正确表示集合交集，需要为表示提供更多信息，一种方法是在集合类 $S$ 中包含整个定义域的空间细分。当集合类 $S$ 包含空间细分时，其偏序集表示的格补是 $S’$ 的正确表示。

在空间数据建模中，偏序集的使用非常广泛，同时，类似于通用分区的离散基础在几何实体建模中也很常见，它是许多基于空间划分标准的高效数据结构的起点，如四叉树、网格文件、k-d树和单元树等。此外，格补在偏序集操作中起着核心作用，已经有许多研究致力于开发其高效构造算法。

下面是一个简单的列表，总结使用格补表示空间数据交集的步骤：
1. 确定集合类 $S$ 及其偏序集表示 $P$。
2. 检查是否需要表示 $S$ 关于交集运算的闭包 $S’$。
3. 若需要，判断 $S$ 是否包含空间细分：
- 若包含，计算 $P$ 的格补 $L$，$L$ 可表示 $S’$。
- 若不包含，补充空间细分信息后再计算格补。

综上所述，正则文法的左推导机制为形式语言的生成和分析提供了不同的视角，而偏序集的格补在空间数据建模中既有重要作用，也存在一定的局限性，需要在实际应用中加以注意。通过深入研究这些理论和方法，可以更好地处理形式语言和空间数据相关的问题。

正则文法与空间数据建模：左推导与格补的深入探究

条件文法中的左推导

对于条件文法（K 文法），主要关注正则条件。在以往的研究中，尚未考虑过这些文法的左推导。

不同类型左推导的定义与性质

很容易明确具有类型 1 和 3 左推导的 K 文法的含义。对于类型 2 左推导，规则 $(\alpha \to \beta; Q)$ 中，当 $u \in Q$ 时，规则适用于 $u \in (V_N \cup V_T)^*$。

相关引理表明，对于 $Y \in {CF - \lambda; CF}$ 和 $x \in {2; 3}$，有 $L(K; Y) \subseteq L(K; Y; left - x)$。这意味着通过左推导可以得到更大的语言类。

定理显示，对于 $Y \in {CF - \lambda; CF}$，有 $L(Y) = L(K; Y; left - 1)$。也就是说，在类型 1 左推导下，K 文法可以生成与上下文无关语言相同的语言类。

推论进一步指出，对于 $x \in {2; 3}$，有 $L(K; CF[ - \lambda]; left - 1) = L(CF) \subset L(K; CF - \lambda[; left - x]) = L(CS) \subset L(K; CF[; left - x]) = L(RE)$。这清晰地展示了不同类型左推导下 K 文法生成语言类的层次关系。

非正则上下文条件的情况

当考虑具有非正则上下文条件的条件文法时，会发现一些有趣的现象。例如，语言 ${a^m b^m a^m | m \geq 1}$ 可以由一个特定的条件文法生成。

相关研究证明，具有正则核心规则和上下文无关规则条件的 K 文法生成的语言族严格包含上下文无关语言的交集闭包。并且，这个语言族包含在具有线性核心规则和上下文无关规则条件的 K 文法生成的语言族中，而后者又包含在具有上下文无关核心规则和上下文无关规则条件且在类型 1 左推导下工作的 K 文法生成的语言族中。但目前还不清楚这些包含关系是否严格。

下面是不同类型左推导下 K 文法生成语言类的关系表格：
| 左推导类型 | 生成语言类 |
| ---- | ---- |
| left - 1 | 上下文无关语言（CF） |
| left - 2 或 left - 3（CF - λ） | 上下文敏感语言（CS） |
| left - 2 或 left - 3（CF） | 递归可枚举语言（RE） |

正则文法左推导与空间数据建模的总结与展望

正则文法的左推导机制为形式语言的研究提供了多种不同的视角和方法。不同类型的左推导（类型 1、类型 2 和类型 3）在不同的文法类型和推导模式下，生成的语言类各有特点，如上下文无关语言、上下文敏感语言和递归可枚举语言等。这些研究成果有助于更深入地理解形式语言的生成和分析过程。

在空间数据建模方面，偏序集的格补是构建有意义的空间细分表示的重要技术，但在应用过程中存在一定的局限性。为了正确使用格补来表示集合交集，需要在集合类中包含空间细分信息。同时，偏序集和格补在空间数据建模中的应用与许多高效的数据结构密切相关，如四叉树、网格文件等。

未来的研究可以进一步探索以下几个方面：
- 在正则文法左推导方面，可以深入研究不同类型左推导之间的更细致关系，以及如何利用左推导机制设计更高效的语言处理算法。
- 在空间数据建模方面，可以研究如何更好地结合偏序集和格补，开发出更精确、高效的空间数据模型，同时探索如何将这些模型应用于更复杂的空间数据分析场景。

下面是一个 mermaid 流程图，展示未来研究方向的探索过程：

graph LR;
    A[正则文法左推导研究] --> B[深入研究左推导关系];
    A --> C[设计高效语言处理算法];
    D[空间数据建模研究] --> E[结合偏序集和格补];
    D --> F[开发精确高效数据模型];
    D --> G[应用于复杂分析场景];

综上所述，正则文法的左推导机制和偏序集的格补在形式语言和空间数据建模领域都具有重要的理论和实际意义，未来的研究有望在这些基础上取得更深入的成果。