39、分布式系统中的领导者选举与正则文法的左最左推导-优快云博客

分布式系统中的领导者选举与正则文法的左最左推导

领导者选举算法的模块化技术

在分布式系统中，领导者选举是一个重要的问题，它涉及到在一组节点中选出一个领导者来协调系统的操作。本文介绍了一种模块化的领导者选举技术，并将其与一些已知的算法进行了比较。

与已知结果的关系

一些著名的领导者选举算法可以被视为该模块化技术的优化实例。算法 E 与这些方法相比显得较为笨拙，因为它没有充分利用底层标记算法 A 的特性。不过，这些优化仅能改善常数因子，而不会影响渐近行为。

算法类型	标记算法选择	复杂度分析
Korach、Kutten 和 Moran 的模块化技术	选择 $A_{v,i}$ 为遍历 2i 个顶点的遍历算法	达到相同的复杂度，$CS_i \geq 2i$
有向超立方体上的领导者选举	选择 $A_{v,i}$ 为两次广播，分别在子超立方体上进行	$f_i = O(2^{i/2})$，$CS_i = O(2^i)$，总通信量为 $O(N)$
无向环面上的领导者选举	选择 $A_{v,i}$ 为标记边长为 $\alpha i$ 的正方形边界的算法	$f_i = O(\alpha i)$，$CS_i = \alpha 2i$，对于平衡的环面，消息复杂度为 $O(N)$

新结果

通过将提出的技术与预定向计算和超立方体匹配技术相结合，实现了无向环绕蝴蝶图和立方体连接循环图上的线性领导者选举算法。

graph LR
    A[模块化技术] --> B[预定向计算]
    A --> C[超立方体匹配技术]
    B --> D[无向环绕蝴蝶图领导者选举]
    C --> D
    B --> E[立方体连接循环图领导者选举]
    C --> E

无向环绕蝴蝶图上的领导者选举

预定向计算 ：在蝴蝶图中，每个顶点有两个长度为 4 的循环，通过局部预计算，每个顶点可以将其 4 条链接分为前向和后向链接。预定向计算可以在 $O(N)$ 条消息内完成。
标记算法 $A_i$ ：类似于有向超立方体的标记算法，包括 Fill 和 FarFill 过程。
- Fill(i, direction) 过程 ：
  - 发起者：向所需方向的两个邻居发送 (fill, i) 消息。
  - 接收者：如果 i > 1，则向相反方向的两条链接发送 (fill, i - 1) 消息。
- FarFill(i, direction) 过程 ：
  - 发起者：选择所需方向的一个邻居，并向其发送 (farfill, i, 2i) 消息。
  - 接收者：如果 j = 1，则在接收到消息的方向上启动 Fill(i) 过程；否则，向相反方向的一个邻居发送 (farfill, i, j - 1) 消息。

通过这些步骤，可以证明该算法在无向 N 节点蝴蝶图上使用 $O(N)$ 条消息。

正则文法的左最左推导

在文法研究中，左最左推导是一个重要的概念。本文系统地研究了由双色有向图控制的文法中的左最左推导，特别是关于其描述能力。

引言

左最左推导在 20 世纪 70 年代定义一些重写机制时起到了重要作用，但此前缺乏系统的研究。通过使用图控制文法的框架，可以统一呈现已知结果，并获得关于正则控制文法和周期性时变文法的新结果。

定义和已知性质

图控制文法 ：一个图控制文法 G 是一个 8 元组 $G = (V_N, V_T, P, S, \Gamma, \Sigma, \Phi, h)$，其中 $V_N$ 是非终结符集，$V_T$ 是终结符集，$P$ 是上下文无关核心规则集，$S$ 是起始符号，$\Gamma$ 是双色有向图，$\Sigma$ 是初始节点集，$\Phi$ 是最终节点集，$h$ 是将节点与规则集关联的函数。
语言生成 ：根据不同的推导模式 m，语言生成定义为 $L_m(G) = {x \in V_T^ | \exists u \in \Sigma \exists v \in \Phi (S, u) \stackrel{ }{\rightarrow}_m (x, v)}$。

文法类型	特点
程序化文法（P 文法）	每个节点包含恰好一条规则，所有节点既是初始节点又是最终节点
正则集控制文法（rSC 文法）	如果有从节点 u 到节点 v 的红色弧，则也有绿色弧
正则控制文法（rC 文法）	每个节点包含恰好一条规则
矩阵集文法（MS 文法）	只有初始节点可以有多个入绿色弧，只有最终节点可以有多个出绿色弧
矩阵文法（M 文法）	既是 MS 文法又是 rC 文法
周期性时变文法（TV 文法）	绿色弧图具有简单的环结构，有一个指定的初始节点，每个节点都可以是最终节点

两种进一步的推导模式

受文献中左 - 2 推导的启发，定义了两种新的推导模式 ${\rightarrow} {s1}$ 和 ${\rightarrow} {s2}$。对于一些特殊的文法，如无外观检查的 G 文法、TV 文法和 RC 文法，这些新的推导模式与原推导模式生成的语言相同。

graph LR
    A[图控制文法] --> B[传统推导模式]
    A --> C[新推导模式 s1 和 s2]
    B --> D[语言生成 L(G)]
    C --> D

通过这些研究，可以得到一些关于语言包含关系的引理，如 $L(G; Y; Z) \subseteq L(G_s; Y; Z)$ 和 $L(G_s; Y; ac) \subseteq L(G; Y; ac)$ 等。这些结果有助于深入理解正则文法的左最左推导及其描述能力。

分布式系统中的领导者选举与正则文法的左最左推导

领导者选举算法的模块化技术（续）

无向立方体连接循环图上的领导者选举

该算法模拟无向环绕蝴蝶图的算法。由于无向环绕蝴蝶图可以以扩张因子 2 嵌入到立方体连接循环图（CCC）中，因此最终算法的复杂度仍为 $O(N)$。
- 预定向 CCC ：对于 $n > 8$ 的 CCC，每个顶点恰好有两个长度为 8 的循环。位于这两个循环中的边是超立方体边，其余两条是循环边。通过在消息中添加左邻居的 ID，接收者可以通过检查哪个长度为 8 的循环包含该左邻居来区分左右。
- 模拟预定向蝴蝶图 ：在无向 CCC 上模拟预定向蝴蝶图，需要实现与蝴蝶图中区分前后向边类似的功能，即一致地区分跨越超立方体边从一个循环到另一个循环时的左右。

通过以上步骤，实现了在无向立方体连接循环图上的领导者选举，且消息复杂度为 $O(N)$。

正则文法的左最左推导（续）

推导模式的性质和关系

推导模式的等价性 ：对于无外观检查的 G 文法、TV 文法和 RC 文法，不同的推导模式（如 $m \in {c, s1, s2}$）生成的语言相同。这是因为在这些文法中，选择节点和规则的顺序对最终结果没有影响，或者只有唯一的可能继续节点。
语言包含关系 ：
- 对于 $Y \in {CF, CF - \lambda}$，$Z \in {ac, ut}$，$s \in {s1, s2}$，有 $L(G; Y; Z) \subseteq L(G_s; Y; Z)$。这表明新的推导模式 ${\rightarrow} {s1}$ 和 ${\rightarrow} {s2}$ 可能生成更大的语言集合。
- 对于 $Y \in {CF, CF - \lambda}$，$s \in {s1, s2}$，有 $L(G_s; Y; ac) \subseteq L(G; Y; ac)$。这说明在有外观检查的情况下，新推导模式生成的语言不会超过原推导模式生成的语言。

文法类型	推导模式	语言关系
无外观检查的 G 文法	$m \in {c, s1, s2}$	$L_m(G) = L(G)$
TV 文法	$m \in {s1, s2}$	$L_m(G) = L(G)$
RC 文法	$m \in {c, s1, s2}$	$L_m(G) = L(G)$
一般 G 文法	$Y \in {CF, CF - \lambda}, Z \in {ac, ut}, s \in {s1, s2}$	$L(G; Y; Z) \subseteq L(G_s; Y; Z)$
有外观检查的 G 文法	$Y \in {CF, CF - \lambda}, s \in {s1, s2}$	$L(G_s; Y; ac) \subseteq L(G; Y; ac)$

graph LR
    A[无外观检查的 G 文法] --> B[语言等价]
    C[TV 文法] --> B
    D[RC 文法] --> B
    E[一般 G 文法] --> F[语言包含关系1]
    G[有外观检查的 G 文法] --> H[语言包含关系2]

结论

通过对领导者选举算法的模块化技术和正则文法左最左推导的研究，得到了以下重要结论：
- 领导者选举 ：提出的模块化技术可以应用于多种拓扑结构，如无向环绕蝴蝶图、立方体连接循环图等，实现线性复杂度的领导者选举算法。这表明在规则的常度图上，全局方向对于最优领导者选举不是必需的，但在无向完全图上，缺乏全局方向会导致额外的 $log N$ 因子。
- 正则文法左最左推导 ：使用图控制文法的框架系统地研究左最左推导，统一了已知结果并获得了新结果。新定义的推导模式 ${\rightarrow} {s1}$ 和 ${\rightarrow} {s2}$ 与原推导模式之间的关系有助于深入理解正则文法的描述能力。

这些研究结果为分布式系统中的领导者选举和正则文法的理论研究提供了新的思路和方法。未来可以进一步探索在更多拓扑结构上的领导者选举算法，以及正则文法左最左推导在其他领域的应用。