32、高效通信路由方案的深入解析

区间与多维区间路由方案特性解析

原创于 2025-07-08 09:54:45 发布 · 867 阅读

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#区间路由方案 # 多维区间路由方案 # 紧凑性

高效通信路由方案的深入解析

在通信领域，为了高效实现通信问题，需要设计合适的通信方案。本文将重点介绍区间路由方案（Interval Routing Schemes）和多维区间路由方案（Multi - dimensional Interval Routing Schemes），并探讨它们在紧凑性、扩张性、拉伸因子、拥塞和缓冲区等方面的特性。

1. 区间路由方案（Interval Routing Schemes）

区间标签方案（Interval Labeling Scheme，ILS）是一种为图中节点和弧进行标签的方案。每个节点被分配一个唯一的整数标签，范围是从 1 到 n，每条弧则被标记为一个区间 [a, b]，其中 a 和 b 也在 1 到 n 的范围内。允许使用循环区间，即当 a > b 时，[a, b] 表示 {a, a + 1, …, n, 1, …, b}。与一个节点关联的所有弧的区间集合必须构成集合 {1, 2, …, n} 的一个划分。当消息要发送到标签为 l 的目标节点时，会通过标记有包含 l 的区间的弧进行路由。

如果 ILS 指定的路径系统满足全对全通信模式，则该 ILS 是有效的，有效的 ILS 也被称为区间路由方案（Interval Routing Scheme，IRS）。IRS 为图中每对不同的节点 u 和 v 指定了一条从 u 到 v 的（唯一）路径。

在 k - ILS 中，每条弧最多被标记 k 个区间，且在每个节点，从该节点发出的所有弧的区间集合构成 {1, …, n} 的一个划分。如果 k - ILS 不使用循环区间，则称为线性 k - ILS（k - LILS）。有效的 k - ILS 和 k - LILS 分别称为 k - IRS 和 k - LIRS。如果 k - IRS（k - LIRS）表示的最短路径系统在任意一对节点之间恰好包含一条最短路径，则称其为最优的。

1.1 紧凑性（Compactness）

为了衡量给定 IRS 的空间效率，引入了紧凑性的概念。图 G 的紧凑性（compactness(G)）定义为最小的整数 k，使得 G 支持一个全对全单最短路径的 k - IRS，即该 k - IRS 在任意一对节点之间只提供一条最短路径。

对于一般图的紧凑性，有以下上下界：
- 每个 n 节点图 G（n ≥ 1）满足：compactness(G) < n / 4 + 0.25√(2nln(3n²))
- 对于足够大的整数 n，存在一个 n 节点图 G，使得：compactness(G) > n / 4 - 1.72(n²ln n)^(1/3)

不同类型图的紧凑性值如下表所示：
| 图类型 | 紧凑性值 |
| ---- | ---- |
| 树、外平面图、超立方体、网格、8 方向网格、r 部图、区间图、单位圆图 | 1 |
| 环面 | 2 |
| 2 - 树 | 最多 3 |
| n 节点弦环 | 最多 2√n |

对于一些著名的互连网络，如洗牌交换网络（SEd）、立方体连接循环网络（CCCd）、蝴蝶网络（BFd）和星图（Sd）等，它们的紧凑性有相应的下界：
- compactness(SEd) = Ω(n^(1/2 - ))，对于任意 > 0
- compactness(CCCd) = Ω(√n / log n)
- compactness(BFd) = Ω(√n / log n)
- compactness(Sd) = Ω(n(log log n / log n)^5)

同样，对于德布鲁因图（DBd），有 compactness(DBd) = Ω(√n / log n)。目前的问题是，这些特殊互连网络紧凑性的下界是否可以进一步改进。

下面是关于区间路由方案紧凑性的流程：

graph LR
    A[定义图 G] --> B[确定全对全单最短路径的 k - IRS]
    B --> C[计算最小的 k 值]
    C --> D[得到 compactness(G)]

1.2 紧凑性与扩张性（Compactness Versus Dilation）

在考虑扩张受限的 IRS 时，对于一些特殊类别的图，已经获得了扩张性和紧凑性之间的渐近最优权衡。

对于多球体图（multiglobe graph，M(s; t; r)），它是通过将完全二部图 Ks;t 的所有边替换为长度为 r 的唯一路径得到的。其直径为 2r，有 (r - 1)st + s + t 个顶点和 rst 条边。对于多球体图，有以下定理：
- 存在一个多球体图 M(s; t; r)，使得每个扩张受限为 1.25D - 1 的 k - IRS 需要 k = Ω(√n)
- 存在一个扩张为 1.25D 的 2 - IRS 用于多球体图 M(s; t; r)
- 对于任意 > 0，存在一个扩张受限为 (1 + )D 的 k - IRS，其中 k = ⌈1 / (2)⌉ * min(s, t)

球体图（globe graph，G(r; s)，r 为奇数）是一种平面多球体图 M(s; 2; ⌈r / 2⌉)。对于球体图，有以下定理：
- 球体图 G(s; s + 1) 的每个最优 IRS 需要紧凑性 s / 4
- 存在一个紧凑性为 min(s, r) 的最优 IRS 用于 G(r; s)
- 存在一个扩张为 1.5D 的 1 - IRS 用于 G(r; s)
- 对于任意 > 0，存在一个扩张受限为 (1 + )D 的 IRS，其紧凑性为常数

对于一般网络，每个网络都存在一个紧凑性为 1 且扩张为 2D 的区间路由方案（D 为网络的直径）。对于扩张受限的区间路由，有一个非构造性证明得到的上界结果：存在一个扩张为 ⌈1.5D⌉ 且紧凑性为 O(√n log n) 的区间路由方案用于 n 节点网络（直径为 D）。

关于紧凑性和扩张性的已知下界总结如下：
| 紧凑性 k | 扩张性下界 |
| ---- | ---- |
| k = 1 | 2D - 3 |
| 2 ≤ k ≤ Θ(√n) | 3D / 2 - 3 |
| 2 ≤ k ≤ Ω(n / log n) | 对于不同条件有不同下界，如定理 16 所示 |

目前还需要确定一般网络中紧凑性和（最坏情况）扩张性之间的紧密权衡，以及探索紧凑性和平均扩张性（平均拉伸因子）之间的关系。

1.3 紧凑性与拉伸因子（Compactness Versus Stretch Factor）

存在一个多项式时间构造的路由算法，对于每个 n 节点图 G（直径为 D），存在一个区间路由方案，使得：
- 紧凑性至多为 3√n(1 + ln n)
- 最坏情况拉伸因子至多为 5
- 平均拉伸因子至多为 3

1.4 紧凑性与拥塞（Compactness Versus Congestion）

竞争力因子表示 k - IRS 在所有输入通信模式下相对于其他方案的表现。存在一些 n 节点图和通信模式，使得最短路径 k - IRS 具有一定的竞争力。例如，存在一个 n 节点图和一组通信模式，使得该图的任何最短路径 k - IRS 的竞争力至少为 n / 2。

对于特定拓扑结构，有以下竞争力结果：
- 在链和树中，对于任意通信模式，以及在环中对于动态一对多模式，存在 1 - 竞争力的 1 - IRS
- 在二维网格和环面中，对于静态一对多模式，存在 1 - 竞争力的 1 - IRS
- 在二维环面中，对于动态一对多模式，存在 (1 + 1 / (n - 1)) - 竞争力的 1 - IRS

在全对全模式下：
- 在任何环中，存在 1 - 竞争力的 1 - IRS
- 在任何 d 维网格中，存在 (1 + o(1)) - 竞争力的 1 - IRS；在任何 d 维环面中，存在 (1 + o(1)) - 竞争力的 2 - IRS
- 在任何二维环面中，存在 (1.2 + o(1)) - 竞争力的 1 - IRS

对于二维环面 Tn;n，由 1 - IRS 诱导的任何全对全路径系统的弧拥塞至多为 0.15n³ + o(n³)，拉伸因子至多为 2.2。

1.5 紧凑性与缓冲区（Compactness Versus Buffers）

(k; s) - DFLIRS（无死锁 IRS）是一个 k - IRS 与一个大小为 s 的无死锁控制器的组合，该控制器覆盖由 k - IRS 诱导的全对全单最短路径系统。

对于超立方体和环面，有以下结果：
- 对于 d 维超立方体，对于每个 i（1 ≤ i ≤ d），存在一个 (2^(i - 1); ⌈d / i⌉ + 1) - DFLIRS
- 对于 d 维环面，对于每个 n 和 i（1 < i < d），存在一个 (⌈ni / 2⌉; 2 * ⌈d / i⌉ + 1) - DFLIRS

当考虑 d 维超立方体的线性区间路由方案时，紧凑性为 1 时可获得大小为 d + 1 的结果，紧凑性为 2^(d - 1) 时可将大小减少到 2。对于 d 维环面，紧凑性为 2 时可获得大小为 2d + 1 的结果，紧凑性为 O(n^(d - 1)) 时可将大小限制为 5。目前还不清楚是否存在更好的无死锁 IRS。

2. 多维区间路由方案（Multi - dimensional Interval Routing Schemes）

多维区间路由方案（MIRS）是区间路由方案的扩展。在 (k, d) - MIRS 中，每个节点被标记为一个唯一的 d 元组 (l1, …, ld)，其中每个 li 来自集合 {1, …, ni}（1 ≤ ni ≤ n）。每条弧最多被标记 k 个 d 元组的循环区间 (I1,1; …; Id,1); …; (I1,k; …; Id,k)。在任何节点，目标为 (l1, …, ld) 的消息会沿着包含一个 d 元组循环区间 (I1, …, Id) 的任何出弧进行路由，使得对于所有 i，li ∈ Ii。

MIRS 可以是多路径的，基于多路径路由方案的路由必须从建议的弧中选择一条。如果一个方案表示所有最短路径，则称为全信息最短路径路由方案。

2.1 紧凑性

定理 10 中的上下界同样适用于多维区间路由。

对于全对全所有最短路径的多维方案，有以下结果：
- 对于树、环和完全图，存在全信息最短路径 (1; 1) - MIRS
- 对于完全二部图，存在全信息最短路径 (2; 1) - MIRS
- 对于 d 维环面，对于每个 n 和 i（1 ≤ i ≤ d），存在全信息最短路径 (n^(i - 1); ⌈d / i⌉) - MIRS
- 对于 d 维超立方体，对于每个 i（1 ≤ i ≤ d），存在全信息最短路径 (⌈2^(i - 1) / i⌉; ⌈d / i⌉) - MIRS

对于 d 维蝴蝶图，存在全信息最短路径 (2; 3) - MIRS；对于 d 维立方体连接循环图，存在全信息最短路径 (2d³; d) - MIRS。目前还需要确定星图的 MIRS 参数。

在 DIS 和 CONS 模型中，(k; d) - MIRS 也被表示为 (k; d) - DIS - MIRS，同时引入了稍作修改的 CON - MIRS 模型。如果图 G 有一个 (k; d) - CON - MIRS，则它有一个 (1; k * d) - MIRS，且每个节点的内存需求和路由路径相同，但反之不成立。

已知最短路径路由对任何路由方案都有较高的内存要求。对于一些图，每个 (k; d) - CON - MIRS 和 (k; d) - DIS - MIRS 都需要 k * d = Ω(n / log n)。在考虑立方体连接循环图的全信息最短路径路由方案的内存需求时，DIS - MIRS 模型在渐近意义上比 CON - MIRS 模型更强。

2.2 紧凑性与拥塞

对于特殊网络，关于具有（渐近）最优拥塞的多路径 MIRS 的结果较少。对于 d 维立方体连接循环图，存在一个多路径 (2; d + 2) - MIRS，其拥塞为 (1 + O(log d / d)) * π，其中 π 是该图的转发指数。

对于一般图，给出了多路径 MIRS 的拥塞和紧凑性之间的权衡：对于任何最大度受限于 Δ 的图 G（转发指数为 π）和给定的 s（1 ≤ s ≤ n），存在一个多路径 (2 + ⌈n / 2s⌉; 1) - MIRS，其拥塞为 π + nΔs。因此，对于任何度有界的平面图，存在一个多路径 (O(√n); 1) - MIRS，其拥塞渐近最优。

对于确定性路由方案，也有类似的结果。对于任何连通图 G（最大度为 Δ，转发指数为 π），对于任何 s（1 ≤ s ≤ n），存在一个 (2 + n / 2s) - IRS，其拥塞为 α * π + nΔs，其中 α 满足 (e^α - 1) / α^α * π / (nΔs) < 1 / (2n)。对于度有界的平面图，存在一个 O(√n log n) - IRS，其拥塞渐近最优。

2.3 紧凑性与缓冲区

在超立方体、环面、蝴蝶图和立方体连接循环图上，关于紧凑性和缓冲区大小的高效无死锁 MIRS（DFMIRS）有以下结果：
- 对于 d 维超立方体，对于每个 i（1 ≤ i ≤ d），存在一个 ((2^(i - 1); ⌈d / i⌉); 2) - DFMIRS（当 i = 1 时，得到 ((1; d); 2) - DFMIRS）
- 对于 d 维环面，对于每个 n 和 i（1 ≤ i ≤ d），存在一个 ((n^(i - 1); ⌈d / i⌉); 4) - DFMIRS（当 i = 1 时，得到 ((1; d); 4) - DFMIRS）
- 对于 d 维蝴蝶图，存在一个 ((2; 3); 4) - DFMIRS
- 对于 d 维立方体连接循环图，存在一个 ((2d³; d); 2d + 6) - DFMIRS

综上所述，区间路由方案和多维区间路由方案在不同的性能指标上有各自的特点和权衡。在实际应用中，需要根据具体的网络需求和性能要求来选择合适的路由方案。未来的研究方向包括进一步改进特殊互连网络紧凑性的下界、确定一般网络中紧凑性和扩张性的紧密权衡、探索紧凑性和平均拉伸因子的关系，以及开发更有效的多维区间路由方案的下界技术等。

高效通信路由方案的深入解析

3. 不同路由方案的对比与总结

为了更清晰地了解区间路由方案（IRS）和多维区间路由方案（MIRS）的特点，我们对它们在紧凑性、拥塞和缓冲区等关键指标上进行对比总结。

方案类型	紧凑性	拥塞	缓冲区
区间路由方案（IRS）	不同图类型紧凑性差异大，如树等为 1，部分网络有相应下界	不同图和通信模式下竞争力不同，二维环面有弧拥塞和拉伸因子限制	超立方体和环面有不同的 (k; s) - DFLIRS 组合
多维区间路由方案（MIRS）	定理 10 上下界适用，不同图有不同全信息最短路径方案	特殊网络多路径 MIRS 结果少，一般图有拥塞和紧凑性权衡	超立方体、环面等有不同的 DFMIRS 组合

从这个对比表格中可以看出，两种方案在不同方面各有优劣。IRS 在一些简单图中紧凑性表现较好，但在复杂互连网络中紧凑性可能较高；MIRS 作为扩展方案，在表示多路径和全信息最短路径方面有优势，但在一些指标上的研究还相对较少。

下面是一个关于选择路由方案的决策流程图：

graph LR
    A[确定网络需求] --> B{是否需要多路径路由}
    B -- 是 --> C[考虑多维区间路由方案（MIRS）]
    B -- 否 --> D{对空间效率要求高吗}
    D -- 是 --> E[关注区间路由方案（IRS）的紧凑性]
    D -- 否 --> F{对拥塞控制要求高吗}
    F -- 是 --> G[对比不同方案的拥塞性能]
    F -- 否 --> H[根据其他因素选择方案]