层次分析法

适用问题：评价类问题。

特点：请你确定评价指标、形成评价体系来选择最佳的方案。

方法：打分法。如图：

	指标权重	方案1	方案2	……
指标1
指标2
指标3
……

注：相同属性的单元格的和为1，它们表示的针对某一因素所占的权重（或得分）。

解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：

① 我们评价的目标是什么？

② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？

③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

一般而言，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

确定权重：分而治之的思想。

方法：两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。（重要性、满意度）

注：标度只能在1~9中取整数及其倒数，其它数都不可取。

一致矩阵的特点：各行（各列）之间成倍数关系。

若矩阵中每个元素a[i][j]>0且满足a[i][j]*a[j][i]=1，则我们称该矩阵为正互反矩阵。

在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。

若正互反矩阵满足a[i][j]*a[j][k]=a[i][k]，则我们称其为一致矩阵。

注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0.

一致性检验的步骤

第一步：计算一致性指标CI

CI=(-n)/(n-1)

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系，或使用我们以后要学习的模糊综合评价模型。

第三步：计算一致性比例CR

CR=CI/RI

如果CR < 0.1,  则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

一致矩阵计算权重的方法：

①算术平均法

第一步：将判断矩阵按照列归一化 （每一个元素除以其所在列的和）

第二步：将归一化的各列相加(按行求和)

第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

②几何平均法

第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

第二步：将新的向量的每个分量开n次方

第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

③特征值法

第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到权重

层次分析法：

第一步:分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构.

注：如果用到了层次分析法，那么层次结构图要放在建模论文中。

第二步：对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。

注：填表时，自己填写比例，计算相关权重；论文写作时，直接给出计算结果即可。

第三步：由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。

建议在比赛时三种方法都使用：

为了保证结果的 稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

注：（1）一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验；（2）在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算权重。

第四步：根据权重矩阵计算得分，并进行排序。

CR > 0.1 如何修正？

往一致矩阵上调整~~ 一致矩阵各行成倍数关系。