中国剩余定理与韩信点兵问题原理

本文介绍了中国剩余定理在解决“物不知其数”问题中的应用,通过实例展示了如何求解此类问题,如韩信点兵问题。通过分析3、5、7的最小公倍数及其倍数的特性,找到满足特定余数条件的数。这种方法也可扩展到其他除数情况,展示了中国古代数学的智慧。

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秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题,都是后人对物不知其数问题的一种故事化.
物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》.原题为:"今有物不知其数,三三数之二,五五数之三,七七数之二,问物几何?"
这道题的意思是:有一批物品,不知道有几件.如果三件三件地数,就会剩下两件;如果五件五件地数,就会剩下三件;如果七件七件地数,也会剩下两件.问:这批物品共有多少件?
变成一个纯粹的数学问题就是:有一个数,用3除余2,用5除余3,用7除余2.求这个数.
这个问题很简单:用3除余2,用7除也余2,所以用3与7的最小公倍数21除也余2,而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3,所以23就是本题的一个答案.
这个问题之所以简单,是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性.如果没有这个特殊性,问题就不那么简单了,也更有趣得多.
我们换一个例子;韩信点一队士兵的人数,三人一组余两人,五人一组余三人,七人一组余四人.问:这队士兵至少有多少人?
这个题目是要求出一个正数,使之用3除余2,用5除余3,用7除余4,而且希望所求出的数尽可能地小.
如果一位同学从来没有接触过这类问题,也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案.
例如我们从用3除余2这个条件开始.满足这个条件的数是3n+2,其中n是非负整数.
要使3n+2还能满足用5除余3的条件,可以把n分别用1,2,3,…代入来试.当n=1时,3n+2=5,5除以5不用余3,不合题意;当n=2时,3n+2=8,8除以5正好余3,可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件.
03-30
### Swish-Gated Linear Unit (SwiGLU) 的定义 Swish-Gated Linear Unit (SwiGLU) 是一种结合了门控机制和激活函数的神经网络组件,广泛应用于自然语言处理和其他深度学习领域。它通过引入非线性和自适应加权的方式增强了模型表达能力[^4]。 具体来说,SwiGLU 可以被看作是一种特殊的门控单元形式,其中输入经过两个分支路径:一条路径应用 Swish 激活函数作为门控信号,另一条保持原始输入不变。最终输出由这两个分支的结果相乘得到: \[ \text{SwiGLU}(x) = (\sigma(W_s \cdot x + b_s) \odot W_g \cdot x + b_g) \] 在这里: - \(W_s\) 和 \(b_s\) 表示用于计算门控信号的权重矩阵和偏置项; - \(W_g\) 和 \(b_g\) 则表示用于缩放输入的权重矩阵和偏置项; - \(\sigma(x)\) 表示标准 Sigmoid 函数或其变种(如 Swish); - \(\odot\) 表示逐元素乘法操作。 这种设计允许模型动态调整不同特征的重要性,从而提升复杂模式的学习效率[^5]。 --- ### 实现细节 以下是基于 PyTorch 的 SwiGLU 实现代码片段: ```python import torch import torch.nn as nn class SwiGLU(nn.Module): def __init__(self, input_dim, output_dim): super(SwiGLU, self).__init__() self.linear_gate = nn.Linear(input_dim, output_dim) self.linear_main = nn.Linear(input_dim, output_dim) def forward(self, x): gate = torch.sigmoid(self.linear_gate(x)) # Gate signal using sigmoid/Swish main = self.linear_main(x) # Main transformation path return gate * main # Element-wise multiplication ``` 上述实现中,`linear_gate` 负责生成门控信号,而 `linear_main` 处理主要的数据流转换部分。两者的输出随后通过逐元素乘法组合在一起形成最终结果[^6]。 需要注意的是,在实际部署过程中可以根据需求替换掉默认的 Sigmoid 函数为其他更高效的替代品比如 SiLU 或 GELU 来进一步优化性能表现[^7]。 --- ### 使用场景 由于具备较强的灵活性以及良好的梯度传播特性,SwiGLU 特别适合于以下几种情况下的建模工作: 1. **序列建模**: 如 Transformer 架构中的前馈网络模块可以采用 SwiGLU 替代传统 ReLU/GeLU 层次结构来增强局部依赖关系捕捉能力。 2. **低资源环境**: 类似于预训练嵌入未能显著改善整体效果的小型数据集情境下,适当加入此类复杂的非线性变换有助于挖掘潜在规律[^8]。 3. **多任务联合训练框架内**, 当存在多个子任务共享底层表征空间时,利用 SwiGLU 提供额外自由度可以帮助平衡各目标间冲突并促进知识迁移过程顺利开展. ---
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