摘自算法爱好者微信号 以下是我对文章的一些整理，方便查阅
1.暴力枚举法
**思路：**使用暴力枚举的方法，试图寻找到一个合适的整数 i，看看这个整数能否被两个整型参数numberA和numberB同时整除。这个整数 i 从2开始循环累加，一直累加到 numberA 和 numberB 中较小参数的一半为止。循环结束后，上一次寻找到的能够被两数整除的最大 i 值，就是两数的最大公约数。
**效率：**比如传入两个参数10000和10001，用此方法就需要循坏10000/2-1=4999次。时间复杂度是O(min(a, b)))
2.辗转相除法， 又名欧几里得算法（Euclidean algorithm）
**思路：**这条算法基于一个定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。比如10和25，25除以10商2余5，那么10和25的最大公约数，等同于10和5的最大公约数。 有了这条定理，求出最大公约数就简单了。我们可以使用递归的方法来把问题逐步简化。
首先，我们先计算出a除以b的余数c，把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出b除以c的余数d，把问题转化成求出c和d的最大公约数；再然后计算出c除以d的余数e，把问题转化成求出d和e的最大公约数……
以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以整除，或者其中一个数减小到1为止。
**效率：**当两个整数型较大时，做a%b取模运算的性能会比较低。时间复杂度不太好计算，可以近似为O(log(max(a, b)))
3.更相减损术， 出自于中国古代的《九章算术》
**思路：**他的原理更加简单：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。比如10和25，25减去10的差是15,那么10和25的最大公约数，等同于10和15的最大公约数。
由此，我们同样可以通过递归来简化问题。首先，我们先计算出a和b的差值c（假设a>b），把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出c和b的差值d（假设c>b），把问题转化成求出b和d的最大公约数；再然后计算出b和d的差值e（假设b>d），把问题转化成求出d和e的最大公约数……
以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以相等为止，最大公约数就是最终相等的两个数。
**效率：**更相减损术虽然避免了辗转相除法大整数取模的性能问题，但依靠两数求差的方式来递归，运算的次数肯定远大于辗转相除法的取模方式。更相减损术是不稳定的算法，当两数相差悬殊时，比如计算10000和1，就要递归9999次。时间复杂度最坏时间复杂度为O(max(a, b)))。
4.更相减损术与移位结合
**思路：**众所周知，移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数：
当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2gcb(a/2, b/2) = 2gcb(a>>1, b>>1)
当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。
比如计算10和25的最大公约数的步骤如下：
整数10通过移位，可以转换成求5和25的最大公约数 利用更相减损法，计算出25-5=20，转换成求5和20的最大公约数 整数20通过移位，可以转换成求5和10的最大公约数 整数10通过移位，可以转换成求5和5的最大公约数 利用更相减损法，因为两数相等，所以最大公约数是5
**效率：**在两数比较小的时候，暂时看不出计算次数的优势，当两数越大，计算次数的节省就越明显。不但避免了取模运算，而且算法性能稳定，时间复杂度为O(log(max(a, b)))
**原文注：**本文原本只写到辗转相除法就终告结束，后来伯乐在线网友们指出还有更优化的解法，看来自己还是才疏学浅，很感谢大家指出问题。另外，方法的参数默认必定是正整数，所以在代码中省去了合法性检查。 文中描述的更相减损术是简化了的方式。在九章算术原文中多了一步验证：如果两数都是偶数，计算差值之前会首先让两个数都折半，使得计算次数更少。这种方法做到了部分优化，但古人似乎没想到一奇一偶的情况也是可以优化的。
由于篇幅所限，本文省略了关于辗转相除法原和更相减损术的原理及证明。其实证明过程并不复杂，细心的同学们也可以自己尝试研究一下。谢谢大家的捧场！
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