2025家旅馆客流分配数学解法
在算法竞赛中，“置换 + 数学约束” 类问题常常需要跳出暴力枚举的思维定式，通过严谨的数学分析缩小解空间，最终用高效算法完成计数。本文以 “旅馆客流量上限分配” 问题为例，从题目解析、核心推导到代码实现，完整呈现这类问题的解题链路，同时提供可直接运行的代码供参考。
题目来源：蓝桥杯客流量上限
题目：
问题描述：
一家连锁旅馆在全国拥有 2025 个分店，分别编号为 1 至 2025。随着节日临近，总部决定为每家分店设定每日客流量的上限，分别记作 A1,A2,…,A2025。这些上限并非随意分配，而是需要满足以下约束条件：
- 置换约束：A1,A2,…,A2025 必须是 1 至 2025 的一个排列，即每个 Ai 均是 1 至 2025 之间的整数，且所有 Ai 互不相同（无重复、无遗漏）。
- 乘积约束：对于任意分店 i 和 j（1≤i,j≤2025，i 可等于 j），它们的客流量上限 Ai 和 Aj 的乘积不得超过 i×j+2025，即 Ai×Aj≤i×j+2025。
这些约束旨在平衡各分店客流压力，确保服务质量和运营稳定性。
目标：
请你计算满足上述所有约束的初始局面（即客流量上限 A1,A2,…,A2025 的分配方案）究竟有多少种。由于答案可能很大，你只需输出其对 109+7 取余后的结果即可。
一、题目描述：明确约束与目标
问题背景
某连锁旅馆拥有 2025 家分店（编号 1~2025），需为每家分店设定每日客流量上限 A₁, A₂, ..., A₂₀₂₅，满足以下两个核心约束：
- 置换约束：
A₁~A₂₀₂₅是 1~2025 的一个排列（即每个数恰好出现一次，无重复、无遗漏）； - 乘积约束：对任意分店
i和j（可相同），满足Aᵢ × Aⱼ ≤ i×j + 2025。
目标：
计算满足上述约束的分配方案总数，结果对 10⁹+7 取余后输出。
二、解题核心思路：四步缩小解空间，锁定计数方案
解题的关键是通过约束逐步缩小每个 Aᵢ 的可选范围，再利用置换性质确定唯一解或可计数的选法。整体流程分为 4 个核心步骤：
步骤 1：从 “i=j” 特殊约束切入，找临界值
乘积约束对所有 i,j 成立，因此对 i=j 也必然成立。将 i=j 代入约束：
Aᵢ² ≤ i² + 2025
由于 Aᵢ 和 i 均为正整数，两边开平方不改变不等号方向，得到 Aᵢ 的上限：
Aᵢ ≤ √(i² + 2025) —— 记函数 f(i) = √(i² + 2025)
关键分析 f(i) 的性质：
- 单调递增：
i越大，i²越大，f(i)也越大（例如i=1012时f(i)=1013，i=1013时f(i)≈1013.999）； - 趋近于
i：当i极大时，2025相对于i²可忽略，f(i)≈√(i²)=i（例如i=2025时f(i)≈2025.5）。
找临界值：何时 Aᵢ ≤ i？
Aᵢ 是整数，要让 Aᵢ ≤ i，需满足 f(i) < i+1（若 f(i) 小于 i+1，则 Aᵢ 的最大整数取值为 i）。解此不等式：
√(i² + 2025) < i+1
两边平方（均为正数，不等号不变）：i² + 2025 < i² + 2i + 1
化简得：2024 < 2i → i > 1012
因此，当 i≥1013 时，Aᵢ ≤ i（i 为整数，即 i=1013~2025）。
步骤 2：用置换双射性质，锁定后 1012 个位置
置换的核心是 “1~2025 无重复、全覆盖”，结合步骤 1 的结论，可推导后 1012 个位置（i=1014~2025）的唯一解：
- 前 1013 个位置的资源限制：前 1013 个位置（
i=1~1013）的Aᵢ上限均≤1013（例如i=1012时Aᵢ≤1013，i=1013时Aᵢ≤1013），因此Aᵢ只能从1~1013中选； - 资源分配必然性：
1~2025共 2025 个数，前 1013 个位置需覆盖1~1013（1013 个数），剩余1014~2025（1012 个数）只能分给后 1012 个位置； - 唯一解推导：后 1012 个位置的
i≥1013，故Aᵢ≤i，而1014~2025中唯一满足≤i的数是i本身（例如i=1014只能选 1014）。因此，后 1012 个位置的Aᵢ=i（唯一解）。
步骤 3：缩小前 1013 个位置的可选范围
后 1012 个位置已确定，只需关注前 1013 个位置（i=1~1013），它们需覆盖 1~1013 且满足乘积约束：
- 用
i≠j约束缩小范围：取i≤1012（前 1012 个位置）、j≥1013（后 1012 个位置，Aⱼ=j），代入乘积约束：
由于Aᵢ×j ≤ i×j + 2025 → Aᵢ ≤ i + 2025/jj≥1013，2025/j≤1.999，结合Aᵢ是整数，得Aᵢ≤i+1； - 结合置换性质：若
Aᵢ<i，会导致i这个数无人选择（违反全覆盖），因此Aᵢ只能选i或i+1（2 种选择）； - 最后一个位置的被动补全：前 1012 个位置选完 1012 个数后，
1~1013中仅剩 1 个数，故i=1013的Aᵢ只有 1 种选择。
步骤 4：计数与模运算
前 1012 个位置各有 2 种独立选择，总选法数为 2¹⁰¹²。由于结果可能极大，需对 10⁹+7 取余，采用快速幂算法高效计算（时间复杂度 O(log 1012)）。
三、完整代码实现
import java.util.Scanner;
public class HotelTrafficLimit {
// 模运算的基数：1e9+7
private static final long MOD = 1000000007L;
public static void main(String[] args) {
// 核心：计算 2^1012 mod MOD
int exponent = 1012;
long result = fastPower(2, exponent, MOD);
System.out.println("满足约束的分配方案数：" + result);
}
/**
* 快速幂算法：计算 (base^exponent) mod modValue
* 分治思想，时间复杂度 O(log exponent)
* @param base 底数
* @param exponent 指数
* @param modValue 模数
* @return 计算结果
*/
private static long fastPower(long base, int exponent, long modValue) {
long result = 1L;
// 底数先对mod取余，避免溢出
base = base % modValue;
while (exponent > 0) {
// 若指数为奇数，当前结果乘以底数
if (exponent % 2 == 1) {
result = (result * base) % modValue;
}
// 底数平方，指数减半（分治核心）
base = (base * base) % modValue;
exponent = exponent / 2;
}
return result;
}
}
四、代码详细解释
1. 核心逻辑对应
代码的核心是计算 2¹⁰¹² mod 10⁹+7，这与我们推导的 “前 1012 个位置各 2 种选择” 完全对应 —— 后 1012 个位置无其他选择，因此总方案数即 2¹⁰¹²。
2. 快速幂算法原理
快速幂的核心是分治思想，将指数 1012 逐步减半，避免直接循环 1012 次（时间复杂度从 O(n) 降至 O(log n)）：
- 若指数为偶数：
base^exponent = (base²)^(exponent/2)； - 若指数为奇数：
base^exponent = base × (base²)^(exponent/2)； - 每一步都对
modValue取余，防止数值溢出（2¹⁰¹²是极大数，直接计算会超出整数范围）。
3. 代码运行结果
运行代码后，输出结果为：
满足约束的分配方案数：781448427
（注：2¹⁰¹² mod 10⁹+7 的计算结果可通过代码直接验证，无需手动计算。）
五、关键知识点总结
- 置换的双射性质：无重复、全覆盖是锁定后 1012 个位置唯一解的核心；
- 不等式化简与放缩：从
i=j约束切入，通过函数性质找到临界值1013； - 整数属性应用：将小数上限
f(i)转化为整数范围（如f(i)<i+1→Aᵢ≤i）； - 快速幂模运算：高效计算大指数幂的模运算，是竞赛中处理大数计数的常用工具。
六、总结
这道题的本质是 “约束化简 + 组合计数”，解题的关键不在于暴力枚举所有置换，而在于通过数学分析将复杂约束转化为可计数的简单选法。从 i=j 的特殊约束切入、利用置换性质锁定部分解、再通过 i≠j 约束缩小选法范围，最终用快速幂完成计数 —— 这套流程可迁移到所有 “置换 + 不等式约束” 的计数问题中。
如果需要扩展到其他类似问题（如改变分店数量、调整乘积约束中的常数），只需修改临界值计算和指数大小，核心思路和代码结构保持不变
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