23、因子空间中的投影、圆柱扩展与概念分析

因子空间中的投影、圆柱扩展与概念分析

1. 表示扩展的投影与圆柱扩展

在一个描述框架中，设 (f,g \in F) 且 (f \geq g)。我们定义投影 (\varPhi_{g}^{f}: X(f) \to X(g))，其中 (X(f) = X(g) \times X(f - g))，对于 ((z, y) \in X(f))，(\varPhi_{g}^{f}(z, y) = z)。这个投影操作可以用于从关于 (f) 的表示扩展推导出关于 (g) 的表示扩展。

对于任意概念 (\alpha \in C)，设 (A \in F(U)) 是 (\alpha) 在 (U) 上的扩展。若已知关于 (f) 的表示扩展 (B = f(A) \in \mathcal{F}(X(f)))，则可以通过投影得到关于 (g) 的表示扩展。利用扩展原理，我们可以将投影扩展到模糊集上：
(\varPhi_{g}^{f}: \mathcal{F}(X(f)) \to \mathcal{F}(X(g)))，(B \to \varPhi_{g}^{f}(B))，且 ((\varPhi_{g}^{f} B)(z) = \bigvee_{y \in X(f - g)} B(z, y))。

这里有一个重要的结论：对于任意概念 (\alpha \in C)，若 (A) 是其扩展，(f,g \in F) 且 (f \geq g)，则 (\varPhi_{g}^{f} f(A) = g(A))。这一结论的证明基于映射复合的扩展原理，具体来说，由于 (g = \varPhi_{g}^{f} \circ f) 是 (f) 和 (\varPhi_{g}^{f}) 的复合映射，根据引理 1 可得出该结论。

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