59、无限分享秘密的方案解析

无限分享秘密的方案解析

1. 引言

在秘密分享领域，对于演化 k - 阈值（evolving k - thr）访问结构的研究有着重要意义。目标是找到一种方案，使得第 t 方的份额接近 log t。当前的构造对 k 呈线性依赖，能否改进这一情况仍是一个待解决的问题。定理 9 的边界适用于任何 t ∈ N 且 k ≥ 2，对于特定的 t 和 k 值，通过进一步分析可以获得更好的边界。

2. 整体思路

采用的方法是从一个对 k 有良好依赖性但对 t 依赖性高的基本方案开始，运用域缩减技术来改善对 t 的依赖性。证明定理 9 的主要技术引理是一个通用变换，它能将任何演化 k - 阈值访问结构的方案（可能份额大小较大）转换为份额更小的不同方案。

引理 2 ：设 k ∈ N。假设存在一个演化 k - 阈值访问结构的秘密分享方案，其中第 t 方的份额大小为 σ(t)。那么，存在一个演化 k - 阈值访问结构的秘密分享方案，其中第 t 方的份额大小至多为 (k - 1) · log t + k · σ(log t + k) + k²。

定理 9 的证明通过反复应用引理 2 来完成，但直接应用时得到的参数并不理想。如果从份额大小在 t 或 k 上呈指数级增长的方案开始，应用引理 2 后，份额大小最终会在 k 上呈指数级依赖。为克服这一问题，先给出一个定制的演化 k - 阈值访问结构的构造，其中第 t 方的份额大小对 t 和 k 几乎呈线性依赖，然后将该方案作为基本构建块，反复应用引理 2 来得到定理 9。

3. 演化 k - 阈值的基本方案

此部分的主要成果是构造一个用于演