28、多密钥全同态加密（FHE）技术详解

多密钥全同态加密（FHE）技术详解

1. 基础概念与定义

在密码学领域，多密钥全同态加密（FHE）是一项重要的技术。首先，我们来了解一些基础的数学性质，对于张量积，有混合积性质：对于任意维度兼容的矩阵 (A)、(B)、(C)、(D)，((A \otimes B) \cdot (C \otimes D) = (AC) \otimes (BD)) 。特别地，((A \otimes B) = (A \otimes I_{height(B)}) \cdot (I_{width(A)} \otimes B) = (I_{height(A)} \otimes B) \cdot (A \otimes I_{width(B)})) 。

1.1 多密钥FHE方案定义

一个分层多跳、多密钥FHE方案是由一组高效随机算法 ((Setup, Gen, Enc, Dec, EvalNAND)) 组成的元组，各算法具有以下特性：
- Setup ：输入安全参数 (\lambda)、密钥数量上限 (k) 和电路深度上限 (d)，输出公共参数 (pp) 。后续算法默认将 (pp) 作为输入。
- Gen ：输出公钥 (pk) 和私钥 (sk) 。
- Enc ：给定公钥 (pk) 和消息 (\mu \in {0, 1})，输出密文 (c) 。为方便起见，假设 (c) 隐式包含对 (pk) 的引用。
- Dec ：给定私钥元组 ((sk_1, sk_2, \ldots, sk_t)) 和密文 (c)，输出一个比特。