64、加泰罗尼亚三角形与格路径计数

加泰罗尼亚三角形与格路径计数

1. 引言

加泰罗尼亚数是最著名的正整数序列之一，在各种计数问题中频繁出现。其丰富的发现历史始于18世纪30年代，中国 - 蒙古数学家和天文学家明安图（约1692 - 约1763）在其著作《割圜密率捷法》中，计算了多个无穷级数，其中包含两个三角函数公式：
[
\begin{align }
\sin(2\alpha) &= 2\sin\alpha - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{C_{n - 1}}{4^{n - 1}} \sin^{2n + 1}\alpha\
\sin^2(\frac{\alpha}{2}) &= \sum_{n = 1}^{\infty} C_{n - 1} (\frac{\sin\alpha}{2})^{2n}
\end{align }
]
他还给出了加泰罗尼亚数的第一个递推公式：
[
C_0 = 1, C_1 = 1, C_2 = 2, C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} (-1)^k \binom{n + 1 - k}{k + 1} C_{n - k}
]
直到1988年，这些与加泰罗尼亚数的联系才被娄建进观察到。

1751年，莱昂哈德·欧拉（1707 - 1783）向他的朋友克里斯蒂安·哥德巴赫（1690 - 1764）提出了多边形三角剖分问题：“一个有 (n + 2) 条边的平面凸多边形，使用不相交的对角线可以有多少种方式将其分割成三角形？” 欧拉手动计算了 (n \leq 8) 时的所有 (C_n) 值，并预测了加泰罗尼亚数的第一个显式公式：