2019牛客暑期多校训练营（第二场）E-MAZE（线段树维护矩阵乘法）-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/chenyume/article/details/100748564

博客介绍了如何使用线段树来维护矩阵乘法，解决一个关于矩阵中0和1翻转的操作及路径计数问题。在给定的n*m矩阵中，通过线段树节点存储从起始到结束位置的路径方案数，并通过矩阵乘法进行区间合并。每次操作或查询时，确保路径不会重复经过已访问的单元格。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定一个大小为n*m（ $n < = 5 e 4, m < = 10$ ）的矩阵，其中只有0，1元素，0表示该点可达，1表示不可达，接下来q（ $q < = 5 e 4$ ）次操作：

可以选择一个格子翻转
询问从(1,x)->(n,y)的方案数，每次只能向下、左、右行走，输出答案取模 $1 e 9 + 7$

线段树上维护矩阵乘法，合并左右子树保证了路径不会回头。
每个线段树的节点上维护一个系数矩阵dp[i][j]。比如线段树上节点表示行号1~5，那么系数矩阵dp[i][j]就表示从(1,i)->(5,j)的方案数。
合并左右子树时做一个矩阵乘法，dp[i][j]=dp[i][k]*dp[k][j]即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=5e4+7;
const int mod=1e9+7;
int n,m;
struct Tree{
    ll a[12][12];
}tree[maxn<<2|1];

Tree mutil(Tree a,Tree b){
    Tree t;
    memset(t.a,0,sizeof(t.a));
    for(int i=1;i<=m;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            for(int k=1;k<=m;++k)
                t.a[i][j]=(t.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
    return t;
}

char s[maxn][19];
void build(int l,int r,int k){
    if(l==r){
        for(int i=1;i<=m;++i)
            for(int j=i;j<=m;++j){
                bool f=1;
                int z=i;
                while(z<=j){
                    if(s[l][z]=='1') f=0;
                    ++z;
                }
                tree[k].a[i][j]=tree[k].a[j][i]=f;
            }
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,k<<1);
    build(mid+1,r,k<<1|1);
    tree[k]=mutil(tree[k<<1],tree[k<<1|1]);
}

void updata(int l,int r,int k,int x,int y){
    if(l==r){
        if(s[x][y]=='0') s[x][y]='1';
        else s[x][y]='0';
        for(int i=1;i<=m;++i)
            for(int j=i;j<=m;++j){
                int z=i;
                bool f=1;
                while(z<=j){
                    if(s[l][z]=='1') f=0;
                    ++z;
                }
                tree[k].a[i][j]=tree[k].a[j][i]=f;
            }
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid) updata(l,mid,k<<1,x,y);
    else updata(mid+1,r,k<<1|1,x,y);
    tree[k]=mutil(tree[k<<1],tree[k<<1|1]);
}

int main(){
    int q,id,l,r;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%s",s[i]+1);
    build(1,n,1);
    while(q--){
        scanf("%d%d%d",&id,&l,&r);
        if(id==1) updata(1,n,1,l,r);
        else printf("%lld\n",tree[1].a[l][r]);
    }

    return 0;
}