原题:有一块椭圆的地,你可以在边界上选n个点,并两两连接得到n(n-1)/2条线段。它们最多能把土地分成多少个部分?
解:
最优方案是不让三条线段交与1点。
欧拉公式:V-E+F=2. 详解见:http://baike.baidu.cn/view/2189637.htm
其中V是顶点(即所有线段的断点数加上交点数),E是边数(即n段椭圆弧加上这些线段被切成的段数),F是面数(即土地块数加上椭圆外那个无穷大的面)。
换句话说,只需求出V和E,答案就是E-V+1;
不管是定点还是边,计算时都要枚举一条从固定点出发(所以最后要乘以n)的所有对角线。假设该对角线左边有i个点,右边有n-2-i个点,则左右两 边的点两两搭配后在这条对角线上形成了i*(n-2-i)个焦点,得到了i*(n-2-i)+1条线段。注意:每个交点被重复计算了4次,而每条线段被重 新计算了两次,因为形成每个交点需要4个点两两组成2条线段相交于一点,需要2个点形成1条被分割的线段。所以得:
如果将n=1~5的答案写出来得:1、2、4、8、16.可能就会推出n=6时是32,但是不是的,而是31,因此找规律的时候要谨慎!
刚看到这道题很自然的认为是一道高中数学题,但后来想要复杂的多。因为结点V,实际上类似于动态生成的,所以很难归纳Vn与Vn-1的关系。
为什么求V的公式中要除以4?
看图:
#include<stdio.h>
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n) == 1)
{
int E,V,F;
V = 0;
E = 0;
for(int i = 0;i <= n-2; ++i)
{
V += i*(n-2-i);
E += i*(n-2-i)+1;
}
V = n + n*V/4;
E = n + n*E/2;
F = E - V + 1;
printf("%d\n",F);
}
return 0;
}