多少块土地——欧拉定理

最新推荐文章于 2025-06-24 20:16:39 发布

大米粒ing

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分类专栏： Algorithm 文章标签： CC++ 算法竞赛入门多少土地欧拉定理

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本文探讨了一块椭圆形状的土地通过选择边界上的点并连接它们，最多可以将其分割成多少个部分的问题。利用欧拉公式解决了这个问题，并通过代码实现验证了解法的有效性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题：有一块椭圆的地，你可以在边界上选n个点，并两两连接得到n(n-1)/2条线段。它们最多能把土地分成多少个部分？

解：

最优方案是不让三条线段交与1点。

欧拉公式：V-E+F=2. 详解见：http://baike.baidu.cn/view/2189637.htm

其中V是顶点(即所有线段的断点数加上交点数),E是边数（即n段椭圆弧加上这些线段被切成的段数），F是面数（即土地块数加上椭圆外那个无穷大的面）。

换句话说，只需求出V和E，答案就是E-V+1；

不管是定点还是边，计算时都要枚举一条从固定点出发(所以最后要乘以n)的所有对角线。假设该对角线左边有i个点，右边有n-2-i个点，则左右两边的点两两搭配后在这条对角线上形成了i*(n-2-i)个焦点，得到了i*(n-2-i)+1条线段。注意：每个交点被重复计算了4次，而每条线段被重新计算了两次，因为形成每个交点需要4个点两两组成2条线段相交于一点，需要2个点形成1条被分割的线段。所以得：

如果将n=1~5的答案写出来得：1、2、4、8、16.可能就会推出n=6时是32，但是不是的，而是31，因此找规律的时候要谨慎！

刚看到这道题很自然的认为是一道高中数学题，但后来想要复杂的多。因为结点V，实际上类似于动态生成的，所以很难归纳V_n与V_n-1的关系。

为什么求V的公式中要除以4？

看图：

#include<stdio.h>

int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n) == 1)
	{
		int E,V,F;
		V = 0;
		E = 0;
		for(int i = 0;i <= n-2; ++i)
		{
			V += i*(n-2-i);
			E += i*(n-2-i)+1;	
		}
		V = n + n*V/4;
		E = n + n*E/2;
		F = E - V + 1;
		printf("%d\n",F);	
	}
	return 0;
}