欧拉公式

原创于 2018-05-29 15:51:31 发布 · 3.2k 阅读

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本文探讨了如何利用欧拉公式解决两类几何分割问题：一是椭圆形地块被n个点连线分割的最大区域数量；二是圆内n个点划分区域的数量。通过对顶点、边和面的计算，给出了具体的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

出处：

https://blog.youkuaiyun.com/yjx_xx/article/details/36035947

此题初识欧拉公式 V - E + F = 2.

其中V是顶点(即所有线段的断点数加上交点数),E是边数（即n段椭圆弧加上这些线段被切成的段数），F是面数（即土地块数加上椭圆外那个无穷大的面）。

题目：有一块椭圆的地，你可以在边界上选n个点，并两两连接得到n(n-1)/2条线段。它们最多能把土地分成多少个部分？

解：

最优方案不会让三条线段交于一点。

欧拉公式：V-E+F=2.其中V是顶点(即所有线段的断点数加上交点数),E是边数（即n段椭圆弧加上这些线段被切成的段数），F是面数（即土地块数加上椭圆外那个无穷大的面）。

换句话说，只需求出V和E，答案就是E-V+1；

不管是定点还是边，计算时都要枚举一条从固定点出发(所以最后要乘以n)的所有对角线。假设该对角线左边有i个点，右边有n-2-i个点，则左右两边的点两两搭配后在这条对角线上形成了i*(n-2-i)个焦点，得到了i*(n-2-i)+1条线段。注意：每个交点被重复计算了4次，而每条线段被重新计算了2次。

#include <stdio.h>
int main()
{
	int n,V,E,sumv,sume,i;
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		sumv=sume=0;
		for(i=0;i<n-1;i++)
			sumv+=i*(n-2-i);
		for(i=0;i<n-1;i++)
			sume+=i*(n-2-i)+1;
		V=n+n*sumv/4;
		E=n+n*sume/2;
		printf("%d\n",E-V+1);
	}
	return 0;
}

再来多一题：

视频网址：https://www.bilibili.com/video/av19849697

问：n个点能把一个圆分割成多少个区域。

我们通过欧拉公式 F=E-不包括最外围的区域）

那么设n个点能形成的直线为L， ${\color{Red} L=\binom{n}{2}}$ ，因为每两个点就能构成一条直线

${\color{Red} V=\binom{n}{4}{\color{Red} }}$ ，这表示内部的点，每4个外点就能构造出一个内部点（相当于两条对角线相交于一点）。

最后我们来求E，易得两条对角线相交于一个点，会多出两条边，3条对角线相交于两个点，会多出2*2条边，那么即是n条对角线相交于m个点，会多出2*m个点，最后E= $E=\binom{n}{2}+2*\binom{n}{4}{\color{Red} }$ 。

所以F= ${\color{Red} } F=\binom{n}{4}+ \binom{n}{2}+1$ 。

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
long long C(int n, int m)
{
    long long s=1;
    if(n < m)
        s=0;
    else if (n == m || m == 0)
        s=1;
    else
        for(int i=1; i<=m; i++)
            s = s * (n - i + 1) / i;
 
     return s;
 }
 
int main(){
    int n;
    while(cin>>n){
        cout<<C(n,4)+C(n,2)+1<<endl;
    }
    return 0;
}