代码随想录训练营第三十八天| 322. 零钱兑换 279.完全平方数 139.单词拆分背包问题总结篇-优快云博客

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322. 零钱兑换

题目链接：322. 零钱兑换 - 力扣（LeetCode）

讲解链接：代码随想录

和昨天做过的零钱对换不太一样昨天的零钱兑换是完全背包里的球排列问题这个是求在指定的背包容量内求最小的组合数

动态规划五部曲

1 定义dp方程我们假设用了dp[j]个硬币去凑j容量的背包要求dp[j]最小

2 推导递推公式首先最少用j-coins[i]个硬币来凑 dp [j - coins[i]] 容量的金额（背包）（不加上他本身的情况）那我再加上一个coins[i] 就是当前dp[j] 所需要的最小硬币个数 dp[j] = dp[j - coins[i]] + 1;

3 如何初始化dp 没有amount就没有硬币j 所以dp[0] = 0 其余的因为要求得达到 amount（j）金额所需的最小硬币个数 dp[j] 题目要求最小一定要用Math.min 只能用MAX_VALUE定义其他元素

4 确定遍历顺序这里先遍历物品再遍历背包（求组合）还是先遍历背包再遍历物品（求排列）都可以因为我只需要求他的最小个数不需要组合或者排列数

5 试试推导一下递推公式 amount = 5 arr = [1 , 2 , 5]

dp[0] = 0 dp[1] = 1 dp[2] = 1 dp[3] = 2 dp[4] = 2 dp[5] = 1 题目求dp[amount] min值直接上代码

Java：

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int dp[] = new int[amount];
        //全部初始化为最大值
        for(int i = 0; i < dp.length; i++){
            dp[i] = max;
        }
        //当金额为0 个数也为0
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i < coins.length; i++){
            //先遍历物品 再遍历背包
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                //只有dp[j - coins[i]不是初始最大值时 才有意义取该位置
                if(dp[j - coins[i]] != max){
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        //凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，
        //那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1
        // 就是dp[j]（考虑coins[i]）
        //例子 amount = 5 arr = [1,2,5];
        //dp[0] = 0 dp[1] = 1 dp[2] = 2.....
        return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
    }
}

说人话就是求到达背包容量的最小负重数

279.完全平方数

题目链接：279. 完全平方数 - 力扣（LeetCode）

讲解链接：代码随想录

和上面的几乎一致

定义上总和为j的平方数的最少个数是dp[j]

递推公式上最少个数为得到当前不考虑其平方数本身的最小个数 + 考虑当前平方数的个数（就是1） dp[j] = dp[j - i * i] + 1（求其最小值还是要除 dp[0]外其余都为MAX_VALUE）

dp[0]表示和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。

有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？

看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。

非0下标的dp[j]应该是多少呢？

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

Java代码：

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i < dp.length; i++){
            dp[i] = max;
        }
        //先遍历物品 再遍历背包
        for(int i = 1; i * i <= n; i++){
            for(int j = i * i; j <= n; j++){
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

139.单词拆分

题目链接：139. 单词拆分 - 力扣（LeetCode）

讲解链接：代码随想录

自己干想没感觉问了ai

清楚多了

Java：

class Solution{
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict){
        HashSet<String> set = new HashSet<>(wordDict);
        boolean[] valid = new boolean[s.length() + 1];
        valid[0] = true;

        for(int i = 1; i <= s.length(); i++){
            for(int j = 0; j < i && !valid[i]; j++){
                if(set.contains(s.substring(j, i)) && valid[j]){
                    valid[i] = true;
                }
            }
        }
        return valid[s.length()];
    }
}

背包问题总结篇

背包问题是动态规划里的非常重要的一部分，所以我把背包问题单独总结一下，等动态规划专题更新完之后，我们还会在整体总结一波动态规划。

关于这几种常见的背包，其关系如下：

416.分割等和子集1

通过这个图，可以很清晰分清这几种常见背包之间的关系。

在讲解背包问题的时候，我们都是按照如下五部来逐步分析，相信大家也体会到，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

其实这五部里哪一步都很关键，但确定递推公式和确定遍历顺序都具有规律性和代表性，所以下面我从这两点来对背包问题做一做总结。

#背包递推公式

问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ，对应题目如下：

问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：

问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ，对应题目如下：

动态规划：474.一和零(opens new window)

问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ，对应题目如下：

#遍历顺序

#01背包

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！ (opens new window)中我们讲解二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

和动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！

#完全背包

说完01背包，再看看完全背包。

在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！ (opens new window)中，讲解了纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

#总结

这篇背包问题总结篇是对背包问题的高度概括，讲最关键的两部：递推公式和遍历顺序，结合力扣上的题目全都抽象出来了。

而且每一个点，我都给出了对应的力扣题目。

最后如果你想了解多重背包，可以看这篇动态规划：关于多重背包，你该了解这些！ (opens new window)，力扣上还没有多重背包的题目，也不是面试考察的重点。

如果把我本篇总结出来的内容都掌握的话，可以说对背包问题理解的就很深刻了，用来对付面试中的背包问题绰绰有余！

背包问题总结：