Bezier曲线

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本文介绍了Bezier曲线的基本概念，包括其定义、性质及De Casteljau算法，并提供了一个使用C++实现Bezier曲线绘制的示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Bezier曲线的定义

Bezier曲线在起点与终点位置与多边形重合。当给定空间n+1个点的位置矢量，则n次Bezier曲线上各点坐标的插值公式为：

C (t) = \sum i = 0 n P i B i, n (t)

$C(t)= \sum_{i=0}^nP_iB_{i,n}(t)$ 其中，n此Bernstein基函数为：

B i, n (t) = n ! i ! ( n - i ) ! t i (1 - t) n - i

$B_{i,n}(t)=\frac{n!}{i!(n-i)!}t^i(1-t)^{n-i}$

Bezier曲线的性质

端点性质：曲线在端点处的位置矢量、切矢量、曲率均与特征多边形的相同
对称性
凸包性。曲线是各点的凸线性组合
几何不变性
变差缩减性

De Casteliau 算法

P r i (t) = (1 - t) P r - 1 i (t) + t P r - 1 i + 1 (t)

$P_i^r(t)=(1-t)P_i^{r-1}(t)+tP_{i+1}^{r-1}(t)$

算法实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<opencv2\core\core.hpp>
#include<opencv2\highgui\highgui.hpp>
#include"MyPoint.h"

#define WIDTH 1000
#define HEIGHT 500

using namespace std;
using namespace cv;

MyPoint DeCasteliau(int degree, const vector<MyPoint>& pv, double t);

int main(){
    Mat imageROI = Mat(HEIGHT, WIDTH, CV_8UC3, Scalar(255, 255, 255));
    vector<MyPoint> pv;
    MyPoint P;
    int degree = 0, npoints = 0;
    cout << "Please input the number of points of the Bezier Curve:" << endl;
    cin >> npoints;
    cout << "Please input the degree of the Bezier Curve:" << endl;
    cin >> degree;
    cout << "Please input the coodinate of the controling points" << endl;
    double t = 0, delta;
    int i;
    int x, y;
    delta = 1.0 / npoints;
    for (i = 0; i < degree; i++){
        cin >> x >> y;
        circle(imageROI, cvPoint(x, y), 5, Scalar(0, 0, 0), -1);
        pv.push_back(MyPoint(x, y));
    }
    for (i = 0, t = 0.0; i < npoints; i++){
        P = DeCasteliau(degree, pv, t);
        imageROI.at<Vec3b>(P.GetY(), P.GetX()) = Vec3b(0, 0, 0);
        t += delta;
    }
    namedWindow("显示结果");
    imshow("显示结果", imageROI);
    waitKey();
}

MyPoint DeCasteliau(int degree, const vector<MyPoint>& pv,double t){
    vector<MyPoint> newpv;
    vector<MyPoint>::const_iterator iterForP;
    vector<MyPoint>::iterator iterForN;
    int r, i;
    double t1 = 1.0 - t;
    for (iterForP = pv.begin(); iterForP != pv.end(); iterForP++){
        newpv.push_back(*iterForP);
    }
    for (r = 1; r <= newpv.size(); r++){
        for (i = 0; i < newpv.size() - r; i++){
            newpv[i] = t1*newpv[i] + t*newpv[i + 1];
        }
    }
    return newpv[0];
}

实现效果：
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