复数域内的微分解法

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本文探讨了在复数域内解决微分方程的简便方法，以y'=e^x*cos x为例，通过转换到复数域简化求解过程。通过数值计算验证了解的准确性，并用Lisp程序实现计算过程，尽管存在浮点数计算精度限制导致的误差，但整体解法已非常接近实际结果。

复数域内的微分解法
先考虑一个简单的微分形式y'=e^x*cos x ,
这种形式如果考虑分离变量法，需要采用两次局部积分法最后才能获得结果；但如果在复数域

内解答将会很简单，并且我们将验证采用数值解法的结果比较；
将上面形式变为复数域的形式有：
yy'=Re { e^x*e^ix}
Go
yy'=Re{e^{x(1+i)}}
GO
yy=Re {1/(1+i)*e^{x(1+i)}+C } (C为实数)
Go
yy=Re { (1-i)/2*e^{x(1+i)}+C }
Go
yy=Re { 1/2*e^x*(cos x+i*sin x) - 1/2*e^x*(i*cos x-*sin x) +C}
Go
yy=Re { 1/2*e^x*(cos x-sin x) + i/2*e^x*(sin x -cos x) +C}
回到实数领域内有：
y= 1/2*e^x*(cos x+sin x) +C
将y代入原微分方程可以获得解答；
现在假设初始条件y(0)=1,这个时候C为1/2

下面写程序来证明：
(setq c 0.5)

(defun pow (num count)
(if (or (> count 1) (eq count 1) )
   (* num
   (pow num
   (- count 1) ) )
   1))

(defun slayer ( count)
(if (or (> count 1) (eq count 1) )
   (* count
   (slayer
   (- count 1) ) )
   1))

(defun slayerex (num count)
(if (or (> count 1) (eq count 1) )
   (* num
   (slayerex
   (- num 1)
   (- count 1) ) )
   1))

(setq e (calc 30 1))

(defun transform (x1)
(calc 30
   (mymod x1)))

(defun mymod (x)
(/
   (round x 1)
   1))

(defun expr (x1 y1 )
(+ y1
   (* 0.01
   (* (cos x1)
   (transform x1)))))

(defun calc (n x)
(if (eq n 0)
   1.0
   (+ (calc (1- n)
   x)
   (* (pow x
   n)
   (/ 1
   (slayer n))))))

(defun mysqrt (x)
(calc 10
   (* 1/2
   (log x))))

(defun formula (x)
(+ (* 0.5
   (calc 30 x)
   (+ (cos x)
   (sin x)))
   c))

(defun exprhelp (x1 )
(if (< (abs (- x1 0))
   0.001)
   (formula 0)
   (expr x1
   (exprhelp (- x1
   0.01)))))

(defun test (n)
(if (> n 0)
  (progn
   (print (exprhelp n))
   (print 'compare)
   (print (formula n))
   (test (- n 1)))
  (print 'over)))

[365]> (test 10)

-16685.893
COMPARE
-15231.83
-2424.1306
COMPARE
-2021.2682
1294.8411
COMPARE
1258.2537
843.1325
COMPARE
774.11414
160.25563
COMPARE
137.8181
-50.077778
COMPARE
-49.608906
-41.681297
COMPARE
-38.003887
-9.392899
COMPARE
-8.025031
2.224791
COMPARE
2.321959
2.473438
COMPARE
2.3780246
OVER
OVER
从这里可以看出误差还是有一些，不过相对已经很接近了；主要原因还是float计算能力的限

制，比如(calc 30 x)中如果x是整数是能够计算出结果的，如果是小数就不能了；