从概率的角度解部分排列问题

从概率的角度解部分排列问题

假设问题是从n个人从选k个人，问的是这k个人的组成的可能排列的可能数；

从这样的角度考虑问题，将题目中的n扩大为n+1,现在分为两种情况：

第一种新增的人没有进入k个人中去，另外一种情况是新增的人位于k个人中的k个位置的可能；

可以得到如下公式：

p(n+1,k)=p(n,k)+p(n,k) * 1/(n-k+1)  {重要的一步}

Go

p(n+1,k)=p(n,k)*(n+1)/(n-k+1)

GO

p(n,k)=p(n-1,k)*(n)/(n-k)

p(n-1,k)=p(n-2,k)*(n-1)/(n-k-1)

...

p(k+1,k)=p(k,k)*(k+1)/1

Go

将上面的式子全相乘：

p(n+1,k)=p(k,k)*(n+1)*n*..(k+1)/{(n-k+1)*(n-k)*...1}

GO

p(n+1,k)=p(k,k)*(n+1)*n*..(k+1)/(n-k+1)!

在这里利用上一节的成果有:

p(k,k)=k!

GO

p(n+1,k)=k!*(n+1)*n*..(k+1)/(n-k+1)!

Go

p(n+1,k)=(n+1)*n*..(n-k+1)