四边形网格生成算法：Q-Morph（四）局部平滑

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参考论文：Q-Morph an indirect approach to advancing front quad meshing
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$\epsilon -\pi -\theta \in \cdot$

局部平滑

平滑是 Q-Morph 算法的一个重要部分，它通过重新调整新四边形附近的节点位置来改善形状。这必须在处理下一个底边之前完成。因为相邻边之间的角度变化会影响边的状态，从而影响四边形网格的最终拓扑结构。在实践中，新四边形上的节点和该四边形相邻的点都会被平滑。底边上的顶点要根据前一个底边的状态和后一个底边状态而做出不同的平滑策略。

内部平滑

对于不在底边上的顶点，可以使用拉普拉斯平均值来平滑。该方法会使用顶点向周边点的中心移动。也可以使用paving算法中的修正的内点平滑，该方法运算量大一些，但是效果更好。

底边平滑

节点的平滑是产生适当比例边长的四边形的关键。Paving: A new approach to automated quadrilateral mesh generation 提出了一种边界点的平滑方法（算法1），适用于连接两个四边形的顶点。Laplacian-Isoparametric Grid Generation Scheme提出的等参数平滑算法，在此基础上对四边形方正度和角度平滑度进行修正（算法2）。对于可能涉及大边长过渡的情况，可以利用与底边相邻三角形的边长对网格的质量进行优化。

设ld为边Nk-Nj的长度，其中Nk是需要要平滑的节点。当需要元素边长的很大的过渡时，ld可以定义为连接到Nk的所有边的平均长度。对于比较小的边长过渡，使用公式5可以减少奇异点的产生。

其中n为所有连接到Ni的底边。

ld的计算是一种启发式算法。
当最大与最小边长之比Tr<2.5时，使用算法1，否则使用算法2。

平滑调整

在平滑过程中，有的三角形可能会出现翻转的情况。这会影响曲面的几何信息，使网格信息发生错误。

为了确保不发生这种情况，必须检查与平滑节点相邻的三角形和四边形是否有一致的法线。如果不一致，则必须对新的节点位置进行调整。节点位置调整可以根据原来调整向量进行缩短，直到所有相邻元素不再翻转为止。

局部更新 & Front 队列更新

一旦形成了一个新的四边形，就要更新当前的Front队列。为此，我们检查了新的四边形上的四条边。任何邻接两个四边形或在边界上的边都将从队列中删除。与三角形相邻的边添加到状态列表中。

除了当前四边形上的边外，其他邻近边可能也需要更新。通过平滑节点，相邻边之间的角度可能已经改变，可能会改变状态。为了便于在局部平滑过程中对前边进行重新分类，任何连接到被平滑的节点的边都会被标记。一旦平滑完成，可以重新计算标记边的角度，并根据其新状态进行重新分类。

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