数学基础知识积累——范数

范数：是对向量和矩阵的一种度量，实际上是二维和三维向量长度概念的推广，是绝对值概念的自然推广。

定义1：若向量的某个实值函数f(x)=||x||,满足，

          （1）正定性：||x||=>0,且||x||=0当且仅当x=0。

          （2）齐次性：对任意实数，都有。

          （3）三角不等式：对任意，有||x+y||<=||x||+||y||。

则称：||x||为上的一个向量范数（vector norms)

常用的有：

                 

                 

                 

定义2：若某矩阵的某个实值函数f(A)=||A||,满足，

         （1）正定性：||A||=>0,且||A||=0当且仅当A=0。

         （2）齐次性：对任意实数，都有。

        （3）三角不等式：对任意，都有||A+B||<=||A||+||B||.

        （4）相容性：对任意的，都有||AB||<=||A|| ||B||.

则称：||A||为上的一个矩阵范数（matrix norms）

常用的有：（列范数）

                     （2--范数）

                    （行范数）

定义3：对于给定的向量范数和矩阵范数，若任意，，都有，

则称所给的向量范数和矩阵范数相容。