数据结构学习日志之十--二叉树

二叉树是一种特殊的树型结构，它的特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点)，并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

二叉树可以有5种形态，1.空二叉树 2.仅有根结点的二叉树 3.右子树为空的二叉树 4.左右子树非空的二叉树 5.左子树为空的二叉树

二叉树的性质

1.在二叉树的第i层至多有2^(i-1)次方个结点(i>=1)

2.深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点

3.对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2，那么n0 = n2 + 1;

一棵深度为k且有2^k-1个结点的二叉树称为满二叉树。

完全二叉树：假设二叉树深度为k，除第k层外，其他各层(1~k-1)的结点数都达到最大个数，第k层的结点都连续集中在最左边。如果将满二叉树从1至n开始编号，如果完全二叉树的结点数为n，那么当且仅当其每一个结点都与满二叉树编号从1至n的结点都一一对应。

完全二叉树有两个重要特性

1.具有n个结点的完全二叉树深度为floor(log2 n) +1 (floor为向下取整)

2.如果对一棵有n个结点的完全二叉树，则对任意一个结点i有

• 如果i > 1，则其双亲PARENT(i)是结点floor(i/2)
• 如果2i > n ， 则结点i为叶子结点，否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i
• 如果2i+1 > n， 则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1.

可以这么理解，对于任意一层k（k>1）的第一个结点编号为i，由二叉树性质2可得，i = 2^(k-1), 即是第k-1层最大数+1，那么它的左孩子肯定是第k+1层的第一个结点，编号是2^k = 2*(2^(k-1)) = 2i，若2i>n,则无左孩子；同理可得其他条件

二叉树的存储结构

1.顺序存储结构

用一组连续地址依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素。

图中以0表示不存在此结点，由此可见，这种顺序结构仅适用于完全二叉树，因为，在最坏的情况下，一个深度为k且只有k歌结点的单支树却需要长度为2^k-1的一维数组

2.链式存储结构