一个非常naive的分数阶微积分介绍

一个非常naive的分数阶微积分介绍

日常水博客，网上这类资料不少，写一个也确实没有必要，但是既然我今天要水博客那就还是写一个，我默认这里读者是非数学专业但是学过高数的同学，因此可能里面一些说法或者观点在数学系同学看来会比较幼稚，如果诸位有什么比较好的建议，还望不吝赐教

我们先进行一些比较不怎么正式的描述，目的是利于理解。对于一个给定的函数$f(x)$，定义$$Jf(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$这里就先看作找出$f(x)$的一个原函数，一些资料比如wiki上把$J$叫做积分算子，姑且看作给$f(x)$来个积分，那么，我们有下面结论：

$$J^{2}f(x)={\int }_0^x(x-t)f(t)dt$$
证明显然，应该一般数分或者高数习题都会有，但是为了凑字数我还是给加上
$$\begin{gathered} J^{2}f(x)={\int }_0^x({\int }_0^{t}f(k)dk)dt \\ =t{\int }_0^{t}f(k)dk{|}_0^x-{\int }_0^{x}td{\int }_0^{t}f(k)dk \\ =x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt \end{gathered}$$
我们可以归纳证明
$$J^{n}f(x)=\frac{1}{(n-1)!}{\int }_0^x(x-t{)}^{n-1}f(t)dt$$
显然
$$\begin{gathered} \frac{d\frac{1}{n!}{\int }_0^x(x-t{)}^{n}f(t)dt}{dx}=\frac{1}{(n-1)!}{\int }_0^x(x-t{)}^{(n-1)}f(t)dt \\ =J^{n}f(x) \end{gathered}$$
于是
$$J^{n+1}f(x){\int }_0^x{J}^{n}f(t)dt={\int }_0^{x}d(\frac{}{n!}$$