一道比较阴间的级数题解答

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原创最新推荐文章于 2026-05-11 21:17:23 发布 678 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

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今天晚上水课时候同学给发来一道十分阴间的题，
在这里插入图片描述
当然可能我这种菜鸡觉得阴间有些大佬觉得已经够简单了，但是我还是这么不要脸的发出来，也算水水活跃度

第一次写出来小错不断，这水博客时候又改了改，但是不免有错，所以如果有错请诸位大佬不吝赐教

这关键是里面那个乘积挺难处理的，下面处理一下

引理1

$x^{2n+1}-1=(x-1)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)....(x-\alpha_{n-1})\\ =(x-1)\prod_{k=1}^{n}(x^2-2x\cos \frac{2k\pi}{2n+1}+1)$
这个比较好证明，把复数根全求出来而后首位配对

同理
$x^{2n}-1=(x-1)(x+1)\prod_{k=1}^{n-1}(x^2-2x\cos \frac{k\pi}{n})$

引理2

$\cos\frac{\pi}{2n+1}\cos \frac{2\pi}{2n+1}....\cos \frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}$
引理1中带进去 $x = - 1$
$-2=(-2)\prod_{k=1}^{n}(2+2\cos \frac{2k\pi}{2n+1})\Rightarrow \\1=\prod_{k=1}^{n}(2+2\cos \frac{2k\pi}{2n+1})\Rightarrow\\ \frac{1}{2^n}=\prod_{k=1}^{n}(1+\cos \frac{2k\pi}{2n+1})\Rightarrow\\ \prod_{k=1}^{n}\cos \frac{k\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}$
下面开始变形
$\prod_{k=1}^{2n}\cos \frac{k\pi}{2n+1}=\prod_{k=1}^{n}\cos \frac{k\pi}{2n+1}\prod_{k=n+1}^{2n}\cos \frac{k\pi}{2n+1}$
其中
$\\\prod_{k=n+1}^{2n}\cos \frac{k\pi}{2n+1}=\prod_{k=n+1}^{2n}\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{2n+1}） \\=\sin \frac{-\pi}{4n+2}\sin\frac{-3\pi}{4n+2}...\sin \frac{-(2n+1)\pi}{4n+2}\\=(-1)^n\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{(2k-1)\pi}{4n+2}·\sin \frac{\pi}{2}·(-1)$
由引理1的做法
$x^{2m}+1=\prod_{k=1}^{n}(x^2-2x\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n+1}+1)$
带入 $x = 1$
$2=\prod_{k=1}^{n}(2-2\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n+1})\\ \frac{1}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n}(1-(1-2\sin^2\frac{(2k-1)\pi}{4n+2}))$