最长递增子序列(Longest Increase Subsequence)

已知一个无序的数组｛1，3，8，2，7，19，6，2，18，14，16｝，则这个数组的最长子序列为｛1，2，7，9，14，19｝，这表明最长递增子序列是可以不连续的。

这道题是9月23号在腾讯笔试的时候看到的，是一道填空题，问的是最快的时间复杂度和最少的空间复杂度，当时想的是用动态规划来分析，因为对动态规划理解得的不够，所以根据对最长公共子序列的回忆，填了时间复杂度（n∧2）和空间复杂度（n∧2），显然，答案是错误的。虽然最长递增子序列和最长公共子序列有相同的地方，比如把无序的序列按升序排序后，然后和原序列一起求最长公共子序列，得到的就是最长递增子序列，但实际上最长递增子序列有更优的时间复杂度（nlog2∧n）。

利用动态规划分析，我们定义序列为a[1-n]，c[1-n]为第i个数的最大递增子序列长度，c[1]-c[n]的值先初始化为1，对c[i]分析，我们发现，c[i]是一个问题的一个最优子结构，c[i]=max(c[j]+1), 1<j<i&&a[j]<a[j]，例如a[8] =｛1，2，3，6，7，5，8，4｝，则c[8] = ｛1，1+1=2，2+1=3，3+1=4，4+1=5，3+1=4，5+1=6，3+1=4｝。

关于时间复杂度(nlog2∧n)是如何实现的可以看这里：http://www.programfan.com/blog/article.asp?id=13086