Python数值计算（30）——矩形及复合矩形积分公式

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前面介绍了数值积分的基本背景知识，接下来就介绍各种常见的数值积分算法，本次主要介绍矩形和梯形积分公式。

1. 矩形积分公式

对于一个连续函数 $eq?f%28x%29$ ，根据中值定理有：

$eq?%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx%3D%28b-a%29f%28%5Cxi%29%2C%20%5Cxi%20%5Cin%20%28a%2Cb%29$

现在的关键是如何确定 $eq?%5Cxi$ 使误差尽可能比较小，一个比较简单的想法是使用该区间中间值，亦即 $2$

Python中实现代码如下：

def RectInt(f,a,b):
    return (b-a)*f((a+b)/2)

其效果如图所示：

图中绿色区域就是以1为底边长，humps(0.5)为高的矩形，其面积为25，而解析式的结果为35.858325395498674，两者之间的差距相当大，误差达到了惊人的30.28%，这几乎是不可接受的。

复合矩形积分公式

如果使用微分的思想，我们可以把这个积分区间划分为等长的N个子区间，然后在每个子区间上应用矩形积分，再把每一段的积分结果求和，其误差就会比单一的区间要好很多，这也就是复合矩形积分公式，假设有n个等距的点，将 $eq?%5Ba%2Cb%5D$ 划分为 $eq?%28n-1%29$ 个子区间，则：

$2%29$

其中：

$%28n-1%29%5C%5C%20x_i%3Da+i*h$

可以把每一个区间的积分，看做是一个矩形，其高是中点处的函数值，而宽则是子区间长h。

算法实现如下：

def compRectInt(f,a,b,n=100):
    '''
    复合矩形法则求积分
    '''
    x=np.linspace(a,b,n)
    h=x[1]-x[0]
    func=np.vectorize(f)
    Int=0
    for i in range(n-1):
        Int+=h*f(x[i]+h/2)
    return Int

运行效果展示如下：

可以看到，随着子区间数量的不断增加，其相对误差也越来越小。