相似矩阵串讲

原创已于 2022-05-19 16:04:50 修改 · 1k 阅读

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#线性代数 #相似矩阵 #矩阵

于 2022-05-19 16:04:30 首次发布

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本文聚焦于线性代数中相似矩阵的概念，解析其在非自然基下映射转换和矩阵幂计算中的作用。通过坐标转换解决非自然基问题，将矩阵表示为相似矩阵。同时探讨相似对角化如何简化矩阵幂运算，特别是当矩阵能被对角化时，计算变得更加高效。文章适合正在学习线性代数，尤其是对相似矩阵和二次型感兴趣的读者。

《相似矩阵与二次型》是【马同学线性代数课程】里的最后一个单元。

从名字就可以看出，它其实有两部分内容

每一部分的信息密度都很大，这导致在学习过程中容易迷失主线。这篇文章就对“相似矩阵”部分进行一个主线的梳理。

1 两个问题

提出相似矩阵实际上是基于两个问题。

问题一:非自然基下的映射如何完成

问题二:矩阵的幂该如何计算

2 相似矩阵

对于问题一，我们是把它换到熟悉的自然基下去解决

利用坐标转换

非自然基下的映射就可以表示为

$B=P^{-1}AP$

$A$ 与 $B$ 就是相似矩阵。

3 相似对角化

问题二稍显复杂，要进行拆解，首先对幂运算进行观察

3.1 相似矩阵的幂运算

对于问题二，利用相似矩阵的定义式，我们可以把 $A$ 的幂运算表示为:

$A^n=\underbrace{P^{-1}BP\ P^{-1}BP \ P^{-1}BP \cdots P^{-1}BP}_n$

而不断的利用结合律,可以消去 $P$ 与 $P^{-1}$

$A^n=P^{-1}B\cancel{\color{blue}{P\ P^{-1}}}B\cancel{\color{blue}{P \ P^{-1}}}B\cancel{\color{blue}{P}} \cdots \cancel{\color{blue}{P^{-1}}}BP$

这样

$A^n=P^{-1}B^nP$

此时，如果 $B$ 是一个对角阵

$B=\Lambda=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right)$

那么

$A^n=P^{-1}\Lambda^nP=P^{-1}\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1}^n & & & \\ & \lambda_{2}^n & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}^n\end{array}\right)P$

这就大大简化了计算

3.2 相似对角化

在学习了相似对角化后，我们知道。若 $A$ 能换到以其特征向量为基的空间下

$\boldsymbol{x}$ 为特征向量

则 $A$ 在这个基下的相似矩阵一定为对角阵 $\Lambda$

此时

$A^n=P^{-1}\Lambda^nP$

$\Lambda$ 就是 $A$ 的相似对角化矩阵

马同学马同学提供线性代数,微积分,概率论与数理统计,机器学习等知识讲解https://www.matongxue.com/madocs/2148/

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