导数能不能通过除法 dy/dx 的求出？

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本文澄清了导数并非通过除法运算得出，导数与微分虽符号相近，但内涵不同。导数定义涉及极限，微分则源于切线斜率。通过历史背景和求导法则解析，避免符号混淆，帮助理解微积分基本概念。

关于导数、微分，我们写过相当多的文章：

但仍然有很多可以讨论的话题，比如，导数能不能通过除法 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 求出？这个答案非常明确，不能！

那为什么这个问题还值得讨论？主要是由于在微积分发展历史上符号混乱，导致同学们产生了误解，并且误解还被不断的强化：

导数定义的时候，使用的符号 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 虽然不是除法，但看上去像除法
在微分定义中，使用的符号 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 确实又是除法
在一些求导法则中，用除法来理解确实可以得到正确的结果，但必须指出这种理解方式是一种歪打正着，在本质上是错误的

下面逐一来解释。

1 导数

先从导数的定义说起。已知某曲线 $y=f(x)$ 以及 $x_0$ 点：

如果想求该点导数的话，可以通过如下的极限式求出，并且在数学中一般用 $f'$ 或 $D$ 来表示导数：

$f'(x_0)=\left.D\Big(f(x)\Big)\right|_{x=x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

$f'$ 或 $D$ 这两个符号有个问题，没有指明是对 $x$ 求导（这点的重要性在本文后面计算链式法则时就可以看出），所以数学家又引入了如下的符号：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

有时候为了写起来省事，上面符号又变为了：

$\frac{\color{red}{\mathrm{d}}y}{\color{red}{\mathrm{d}x}}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

就是这种写法开始让同学有点混淆了，以为导数是除法 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的结果。其实上述符号的红色部分应该看作整体，然后和 $y$ 一起（即等号的左侧）代表了右侧的极限式。所以这里是不可能拆分出 $\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}x$ 来，也就是导数不是由除法求出的。

2 微分

进一步的误解产生于微分的出现，本节就来解释下。如果将导数 $f'(x_0)$ 当作斜率的话，就可以在 $x_0$ 点求出用于近似曲线 $f(x)$ 的切线 $g(x)$ （可以参考重新理解导数和微分）：

该切线 $g(x)$ 的方程为：

$g(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

在数学中因为种种原因（可以参考dx，dy是什么？），往往会在切点建立坐标系，横坐标记作 $\mathrm{d}x$ ，纵坐标记作 $\mathrm{d}y$ 。此时符号就开始混淆了，其实这里的 $\mathrm{d}y$ 、 $\mathrm{d}x$ 和导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 毫无关系：

在 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 坐标系中，切线方程就非常简单了（其中 $\mathrm{d}x=x-x_0$ ，关于这点也可以参考dx，dy是什么？）：

$\mathrm{d}y=f'(x_0)\mathrm{d}x$

此时切线也被称为微分，并且可以推出：

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f'(x_0),\quad \mathrm{d}x\ne 0$

在这里就产生了更大的混淆，仿佛导数 $f'(x_0)$ 就是由 $\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}x$ 相除得到的。但要注意这里的逻辑顺序：

反过来是不成立的。也就是说不可能通过 $\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}x$ 相除求出导数 $f'(x_0)$ ，因为在两者相除之前 $f'(x_0)$ 已经存在了。

3 导数和微分

综上，根据导数定义、微分定义分别可以得到：

两者看着非常相似，但从上面两节的分析可知，内涵完全不一样：

但符号实在太接近了，造成了一定程度的混乱。

4 歪打正着

更深的误解来自于对求导法则的解读，本节会尽量去澄清这一点。

首先，我们要明确所有求导法则都是通过导数定义来推导的，比如下面这些常用法则。如果去翻看教科书会发现推导过程还是很复杂的：

链式法则：
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$
反函数求导：
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}$
参数方程求导：

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}$

我相信很多同学也发现了，上面这些法则似乎可以通过微分定义来理解，并且还更简单、更符合直觉。这种理解方式是一种歪打正着，本质上是错误的，下面通过链式法则来分析下为什么。

4.1 链式法则

通过微分定义来理解链式法则，就是认为 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 、 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}$ 是两个微分之商，所以似乎可以像下面这样来推导处链式法则：

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\color{red}{\cancel{\mathrm{d}u}}}\frac{\color{red}{\cancel{\mathrm{d}u}}}{\mathrm{d}x}$

比对一下教科书就知道这个过程是错误的，应该通过导数定义来推导。退一万步来说，就算可以通过微分定义来推导，但分母中的 $\mathrm{d}u$ 是 $\mathrm{d}y\mathrm{d}u$ 坐标系中的横坐标，分子中的 $\mathrm{d}u$ 是 $\mathrm{d}u\mathrm{d}x$ 坐标系中的纵坐标，两者的代数式并不一样，是没法约掉的。

举一个具体的例子，比如有：

$y=f(u)=u^2,\quad u=g(x)=\sin x$

两函数复合为：

$f\Big(g(x)\Big)=(\sin x)^2=\sin^2 x$

那么分母 $\mathrm{d}u$ 是 $\mathrm{d}y\mathrm{d}u$ 坐标系的横坐标，因此：

$\mathrm{d}u=u-u_0=\sin x-\sin x_0$

而分子 $\mathrm{d}u$ 是 $\mathrm{d}u\mathrm{d}x$ 坐标系中的纵坐标，因此：

$\mathrm{d}u=g'(x_0)\mathrm{d}x=\cos x_0(x-x_0)$

分母 $\mathrm{d}u$ 和分子 $\mathrm{d}u$ 都被换到用 $x$ 和 $x_0$ 来表示，可以看出两者并不相等，所以是不可能约掉的。为了提醒自己，可以将链式法则写成导数形式：

很显然，右边的表达式看上去更复杂，所以有时候不得不用左边的表达式，尽管会带来一些混淆。

4.2 二阶链式法则

你说，我非要按照微分观点来理解链式法则，反正这样也容易记，结果也是正确的。当然可以这么做，只是到了二阶链式法则，这样做就走不通了，会发生错误。

来算算二阶链式法则：

到目前为止一切都很好，继续往下化简就会出问题。上面等式最后有两项，第一项按照微分观点可以得到：

$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)^2=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}\frac{\mathrm{d}u^2}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\color{red}{\cancel{\mathrm{d}u^2}}}\frac{\color{red}{\cancel{\mathrm{d}u^2}}}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$